Was ist ein Wendepunkt?

Ein Wendepunkt in der Mathematik ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem die Krümmung des Graphen wechselt. Das bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt von einer Rechtskrümmung (konkav) zu einer Linkskrümmung (konvex) oder umgekehrt wechselt.

Um einen Wendepunkt zu finden, muss die zweite Ableitung der Funktion betrachtet werden:

1. Bestimme die erste Ableitung \( f'(x) \) der Funktion \( f(x) \).
2. Bestimme die zweite Ableitung \( f''(x) \).
3. Setze die zweite Ableitung gleich null und löse nach \( x \): \( f''(x) = 0 \).
4. Überprüfe das Vorzeichenwechselkriterium: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt, wenn man die gefundenen \( x \)-Werte in die zweite Ableitung einsetzt.

Ein Beispiel:
Gegeben sei die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).

1. Erste Ableitung: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \).
2. Zweite Ableitung: \( f''(x) = 6x - 6 \).
3. Setze \( f''(x) = 0 \): \( 6x - 6 = 0 \) ergibt \( x = 1 \).
4. Überprüfe das Vorzeichenwechselkriterium: Für \( x < 1 \) ist \( f''(x) < 0 \) und für \( x > 1 \) ist \( f''(x) > 0 \). Es liegt also ein Vorzeichenwechsel vor.

Daher hat die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) einen Wendepunkt bei \( x = 1 \). Der y-Wert des Wendepunkts kann durch Einsetzen von \( x = 1 \) in die ursprüngliche Funktion gefunden werden: \( f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0 \). Der Wendepunkt ist also bei \( (1, 0) \).