Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Viertelstunde mindestens zwei Sternschnuppen gesehen werden?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass während einer Viertelstunde mindestens zwei Sternschnuppen gesehen werden, kann das Poisson-Verteilungsmodell verwendet werden. Die Poisson-Verteilung ist geeignet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu berechnen, die in einem festen Intervall auftreten, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander sind und die durchschnittliche Rate bekannt ist.

Gegeben:
- Durchschnittliche Rate (λ) = 6 Sternschnuppen pro Stunde
- Zeitintervall = 15 Minuten (1/4 Stunde)

Zuerst muss die durchschnittliche Rate für das 15-Minuten-Intervall berechnet werden:
\[ \lambda_{15} = \lambda \times \frac{1}{4} = 6 \times \frac{1}{4} = 1.5 \]

Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit, dass genau \( k \) Ereignisse in einem Intervall auftreten, mit der Formel:
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens zwei Sternschnuppen in 15 Minuten gesehen werden, müssen die Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 Sternschnuppe berechnet und von 1 subtrahiert werden.

Berechnung für \( k = 0 \):
\[ P(X = 0) = \frac{e^{-1.5} \cdot 1.5^0}{0!} = e^{-1.5} \approx 0.2231 \]

Berechnung für \( k = 1 \):
\[ P(X = 1) = \frac{e^{-1.5} \cdot 1.5^1}{1!} = 1.5 \cdot e^{-1.5} \approx 0.3346 \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Sternschnuppen gesehen werden, ist:
\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \]
\[ P(X \geq 2) = 1 - 0.2231 - 0.3346 \]
\[ P(X \geq 2) \approx 0.4423 \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Viertelstunde mindestens zwei Sternschnuppen gesehen werden, beträgt also etwa 44,23 %.