Berechne das 99.0%-Konfidenzintervall für eine Stichprobe mit n=18, Mittelwert x̄=51 und Standardabweichung S=26.

Um das 99%-Konfidenzintervall für den Mittelwert einer Stichprobe zu berechnen, wird der t-Verteilungswert verwendet, da die Stichprobengröße klein ist (n < 30) und die Populationsstandardabweichung unbekannt ist.

Die Formel für das Konfidenzintervall lautet:

\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \]

Hier sind die gegebenen Werte:
- \(\bar{x} = 51\) (Mittelwert)
- \(S = 26\) (Standardabweichung)
- \(n = 18\) (Stichprobengröße)
- Konfidenzniveau = 99%

Zuerst muss der t-Wert für das 99%-Konfidenzniveau und 17 Freiheitsgrade (n-1) gefunden werden. Dieser Wert kann aus einer t-Verteilungstabelle oder einem entsprechenden Rechner entnommen werden. Für 17 Freiheitsgrade und ein 99%-Konfidenzniveau ist der t-Wert ungefähr 2.898.

Nun kann das Konfidenzintervall berechnet werden:

1. Berechne den Standardfehler (SE):
\[ SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{26}{\sqrt{18}} \approx 6.13 \]

2. Berechne die Margin of Error (MOE):
\[ MOE = t_{\alpha/2} \cdot SE = 2.898 \cdot 6.13 \approx 17.76 \]

3. Bestimme das Konfidenzintervall:
\[ \bar{x} \pm MOE = 51 \pm 17.76 \]

Das 99%-Konfidenzintervall ist somit:
\[ (51 - 17.76, 51 + 17.76) = (33.24, 68.76) \]

Das 99%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Population liegt also zwischen 33.24 und 68.76.