Wie berechnet man die Gewinnwahrscheinlichkeit einer Platzzwilling-Wette bei n Pferden?

Die theoretische Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Platzzwilling (englisch: "Place Quinella" oder "Zwilling Platz") bei einem Pferderennen mit **n** Pferden berechnet sich wie folgt:

**Definition Platzzwilling:**
Du wettest darauf, dass zwei bestimmte Pferde unter die ersten drei Plätze kommen, unabhängig von der Reihenfolge.

**Berechnung:**

1. **Anzahl der möglichen Kombinationen für die beiden gewählten Pferde:**
Du wählst 2 Pferde aus n, also \(\binom{n}{2}\) Möglichkeiten.

2. **Anzahl der möglichen Platzierungen der beiden gewählten Pferde unter den ersten drei Plätzen:**
Die beiden gewählten Pferde müssen auf zwei der drei ersten Plätze landen.
Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Pferde auf drei Plätze zu verteilen (Reihenfolge egal), ist \(\binom{3}{2} \times 2! = 3 \times 2 = 6\).

Aber da die Reihenfolge egal ist (es reicht, dass beide unter den ersten drei sind), gibt es für die beiden gewählten Pferde genau 3 Möglichkeiten:
- Pferd A auf Platz 1, Pferd B auf Platz 2
- Pferd A auf Platz 1, Pferd B auf Platz 3
- Pferd A auf Platz 2, Pferd B auf Platz 3
(und jeweils umgekehrt, aber das ist bei der Zwilling Platz-Wette egal)

Also: Es gibt 3 mögliche Kombinationen, wie die beiden gewählten Pferde unter den ersten drei Plätzen landen können.

3. **Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen der ersten drei Plätze:**
Die ersten drei Plätze können von beliebigen Pferden besetzt werden.
Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Pferde aus n auszuwählen (Reihenfolge egal), ist \(\binom{n}{3}\).

4. **Wahrscheinlichkeit:**
Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gewählten Pferde unter den ersten drei sind, ist:

\[
P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Kombinationen}}{\text{Anzahl aller möglichen Kombinationen}}
\]

Die Anzahl der günstigen Kombinationen ist:
- Die beiden gewählten Pferde sind unter den ersten drei (egal auf welchem Platz), das dritte Pferd ist eines der verbleibenden \(n-2\) Pferde.

Also: \(n-2\) Möglichkeiten.

Die Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen für die ersten drei Plätze (ohne Reihenfolge) ist:
\(\binom{n}{3}\)

**Formel:**

\[
P = \frac{n-2}{\binom{n}{3}}
\]

\[
\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}
\]

Also:

\[
P = \frac{n-2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{6}{n(n-1)}
\]

**Endgültige Formel:**

\[
\boxed{P = \frac{6}{n(n-1)}}
\]

**Beispiel:**
Bei 8 Pferden:

\[
P = \frac{6}{8 \times 7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} \approx 10,7\%
\]

**Fazit:**
Die theoretische Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Platzzwilling-Treffer bei n Pferden beträgt \(\frac{6}{n(n-1)}\).