1 Frage zu Wettquote

Die theoretische Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Platzzwilling (englisch: "Place Quinella" oder "Zwilling Platz") bei einem Pferderennen mit **n** Pferden berechnet sich wie folgt: **Definition Platzzwilling:** Du wettest darauf, dass zwei bestimmte Pferde unter die ersten drei Plätze kommen, unabhängig von der Reihenfolge. **Berechnung:** 1. **Anzahl der möglichen Kombinationen für die beiden gewählten Pferde:** Du wählst 2 Pferde aus n, also \(\binom{n}{2}\) Möglichkeiten. 2. **Anzahl der möglichen Platzierungen der beiden gewählten Pferde unter den ersten drei Plätzen:** Die beiden gewählten Pferde müssen auf zwei der drei ersten Plätze landen. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Pferde auf drei Plätze zu verteilen (Reihenfolge egal), ist \(\binom{3}{2} \times 2! = 3 \times 2 = 6\). Aber da die Reihenfolge egal ist (es reicht, dass beide unter den ersten drei sind), gibt es für die beiden gewählten Pferde genau 3 Möglichkeiten: - Pferd A auf Platz 1, Pferd B auf Platz 2 - Pferd A auf Platz 1, Pferd B auf Platz 3 - Pferd A auf Platz 2, Pferd B auf Platz 3 (und jeweils umgekehrt, aber das ist bei der Zwilling Platz-Wette egal) Also: Es gibt 3 mögliche Kombinationen, wie die beiden gewählten Pferde unter den ersten drei Plätzen landen können. 3. **Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen der ersten drei Plätze:** Die ersten drei Plätze können von beliebigen Pferden besetzt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Pferde aus n auszuwählen (Reihenfolge egal), ist \(\binom{n}{3}\). 4. **Wahrscheinlichkeit:** Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gewählten Pferde unter den ersten drei sind, ist: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Kombinationen}}{\text{Anzahl aller möglichen Kombinationen}} \] Die Anzahl der günstigen Kombinationen ist: - Die beiden gewählten Pferde sind unter den ersten drei (egal auf welchem Platz), das dritte Pferd ist eines der verbleibenden \(n-2\) Pferde. Also: \(n-2\) Möglichkeiten. Die Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen für die ersten drei Plätze (ohne Reihenfolge) ist: \(\binom{n}{3}\) **Formel:** \[ P = \frac{n-2}{\binom{n}{3}} \] \[ \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \] Also: \[ P = \frac{n-2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{6}{n(n-1)} \] **Endgültige Formel:** \[ \boxed{P = \frac{6}{n(n-1)}} \] **Beispiel:** Bei 8 Pferden: \[ P = \frac{6}{8 \times 7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} \approx 10,7\% \] **Fazit:** Die theoretische Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Platzzwilling-Treffer bei n Pferden beträgt \(\frac{6}{n(n-1)}\).