Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer und Trägheit beim Federpendel herleiten und auswerten.

Um den Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer und Trägheit beim Federpendel zu verstehen, betrachten wir die Bewegungsgleichung eines Federpendels. Ein Federpendel besteht aus einer Masse \( m \), die an einer Feder mit der Federkonstanten \( k \) befestigt ist. Die Bewegungsgleichung für ein Federpendel kann durch das Hooke'sche Gesetz und das zweite Newtonsche Gesetz aufgestellt werden.

1. **Bewegungsgleichung aufstellen**:
Die Rückstellkraft \( F \) der Feder ist gegeben durch:
\[
F = -k \cdot x
\]
wobei \( x \) die Auslenkung von der Gleichgewichtslage ist. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt:
\[
F = m \cdot a = m \cdot \frac{d^2x}{dt^2}
\]
Setzen wir die Rückstellkraft in die Gleichung ein, erhalten wir:
\[
m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -k \cdot x
\]
Dies führt zur Differentialgleichung:
\[
\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} \cdot x = 0
\]

2. **Lösung der Differentialgleichung**:
Diese Gleichung beschreibt eine harmonische Schwingung. Die allgemeine Lösung hat die Form:
\[
x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)
\]
wobei \( A \) die Amplitude, \( \phi \) die Phase und \( \omega \) die Kreisfrequenz ist. Die Kreisfrequenz \( \omega \) ist gegeben durch:
\[
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
\]

3. **Schwingungsdauer**:
Die Schwingungsdauer \( T \) ist mit der Kreisfrequenz verknüpft durch die Beziehung:
\[
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
\]

4. **Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer und Trägheit**:
Aus der Gleichung für die Schwingungsdauer \( T \) wird deutlich, dass die Schwingungsdauer \( T \) direkt von der Masse \( m \) (Trägheit) und der Federkonstanten \( k \) abhängt. Eine größere Masse führt zu einer längeren Schwingungsdauer, während eine größere Federkonstante die Schwingungsdauer verkürzt.

Zusammenfassend zeigt die Herleitung, dass die Schwingungsdauer eines Federpendels proportional zur Quadratwurzel der Masse und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Federkonstanten ist. Quantitativ kann dies durch die Formel \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) ausgedrückt werden.