Wasserstrahl strömt senkrecht nach oben: d1=0,5m, v1=10m/s, h=3m, Dichte H2O, gesucht: d2?

Um den Durchmesser \( d_2 \) des Wasserstrahls zu berechnen, der senkrecht nach oben strömt, kannst du die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeiten verwenden. Diese besagt, dass der Produkt aus Querschnittsfläche und Geschwindigkeit an zwei Punkten gleich sein muss:

\[
A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2
\]

Hierbei ist \( A \) die Querschnittsfläche und \( v \) die Geschwindigkeit. Die Querschnittsfläche \( A \) eines kreisförmigen Querschnitts wird durch die Formel \( A = \frac{\pi d^2}{4} \) gegeben, wobei \( d \) der Durchmesser ist.

1. Zuerst berechnen wir die Querschnittsfläche \( A_1 \) bei \( d_1 \):

\[
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0,5)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,25}{4} = \frac{\pi}{16} \, \text{m}^2
\]

2. Da der Wasserstrahl keine Reibung hat und die Geschwindigkeit am höchsten Punkt (Höhe \( h = 3 \, \text{m} \)) aufgrund der Schwerkraft abnimmt, können wir die Geschwindigkeit \( v_2 \) am höchsten Punkt mit der Energieerhaltung oder der Bernoulli-Gleichung berechnen. Die Geschwindigkeit am höchsten Punkt kann mit der Formel für den freien Fall berechnet werden:

\[
v_2 = \sqrt{v_1^2 - 2gh}
\]

Hierbei ist \( g \approx 9,81 \, \text{m/s}^2 \).

Setzen wir die Werte ein:

\[
v_2 = \sqrt{10^2 - 2 \cdot 9,81 \cdot 3} = \sqrt{100 - 58,86} = \sqrt{41,14} \approx 6,41 \, \text{m/s}
\]

3. Jetzt setzen wir die Werte in die Kontinuitätsgleichung ein:

\[
A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2
\]

Das ergibt:

\[
\frac{\pi}{16} \cdot 10 = A_2 \cdot 6,41
\]

4. Um \( A_2 \) zu finden, lösen wir die Gleichung nach \( A_2 \) auf:

\[
A_2 = \frac{\frac{\pi}{16} \cdot 10}{6,41} \approx \frac{0,19635 \cdot 10}{6,41} \approx \frac{1,9635}{6,41} \approx 0,306 \, \text{m}^2
\]

5. Jetzt berechnen wir den Durchmesser \( d_2 \):

\[
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \implies d_2^2 = \frac{4A_2}{\pi} \implies d_2 = \sqrt{\frac{4A_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,306}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{1,224}{3,1416}} \approx \sqrt{0,39} \approx 0,625 \, \text{m}
\]

Der gesuchte Durchmesser \( d_2 \) beträgt also ungefähr \( 0,625 \, \text{m} \).