Wie wird die relativistische Energie-Impuls-Beziehung hergeleitet?

Die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ist eine fundamentale Gleichung in der speziellen Relativitätstheorie, die die Beziehung zwischen der Energie \(E\), dem Impuls \(p\) und der Ruhemasse \(m_0\) eines Teilchens beschreibt. Sie lautet:

\[
E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2
\]

Hierbei ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

### Herleitung

1. **Einführung der Konzepte**: In der speziellen Relativitätstheorie wird die Energie eines Teilchens als die Summe seiner Ruheenergie und seiner kinetischen Energie betrachtet. Die Ruheenergie ist gegeben durch \(E_0 = m_0 c^2\).

2. **Impuls in der Relativität**: Der relativistische Impuls \(p\) eines Teilchens wird definiert als:
\[
p = \gamma m_0 v
\]
wobei \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) der Lorentzfaktor ist und \(v\) die Geschwindigkeit des Teilchens.

3. **Energie in der Relativität**: Die relativistische Energie \(E\) eines Teilchens wird als:
\[
E = \gamma m_0 c^2
\]

4. **Quadratische Form**: Um die Energie-Impuls-Beziehung herzuleiten, quadrieren wir die Energie- und Impulsformeln:
\[
E^2 = (\gamma m_0 c^2)^2 = \gamma^2 m_0^2 c^4
\]
\[
p^2 = (\gamma m_0 v)^2 = \gamma^2 m_0^ v^2
\]

5. **Verknüpfung der Terme**: Da \(\gamma^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}\), können wir \(v^2\) in Bezug auf \(\gamma\) ausdrücken:
\[
p^2 = \gamma^2 m_0^2 v^2 = \frac{m_0^2 v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}
\]

6. **Einsetzen in die Energieformel**: Setze \(v^2\) in die Energieformel ein:
\[
E^2 = \gamma^2 m_0^2 c^4 = \frac{m_0^2 c^4}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = m_0^2 c^4 + \frac{m_0^2 v^2 c^2}{c^2 - v^2}
\]

7. **Vereinfachung**: Durch Umformung und Vereinfachung erhält man schließlich die Beziehung:
\[
E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2
\]

Diese Gleichung zeigt, dass die Gesamtenergie eines Teilchens aus seinem Impuls und seiner Ruhemasse abgeleitet werden kann und ist ein zentrales Ergebnis der speziellen Relativitätstheorie.