Welche Geschwindigkeit hatten die α-Teilchen mit 7,36 MeV auf der Goldfolie?

Um die Geschwindigkeit der α-Teilchen zu berechnen, die eine Energie von 7,36 MeV besitzen, kannst du die Beziehung zwischen kinetischer Energie und Geschwindigkeit verwenden. Die kinetische Energie \( E \) eines Teilchens ist gegeben durch die Formel:

\[
E = \frac{1}{2} m v^2
\]

Für relativistische Geschwindigkeiten muss jedoch die relativistische Energieformel verwendet werden:

\[
E = \sqrt{(pc)^2 + (m_0 c^2)^2}
\]

Hierbei ist \( p \) der Impuls, \( m_0 \) die Ruhemasse des α-Teilchens und \( c \) die Lichtgeschwindigkeit. Die Ruhemasse eines α-Teilchens beträgt etwa \( 4 \, \text{u} \) (u ist die atomare Masseneinheit, etwa \( 1.66 \times 10^{-27} \, \text{kg} \)), was ungefähr \( 4 \times 1.66 \times 10^{-27} \, \text{kg} \approx 6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg} \) ergibt.

Um die Geschwindigkeit zu berechnen, ist es einfacher, die Energie in Joule umzurechnen. 1 MeV entspricht etwa \( 1.6 \times 10^{-13} \, \text{J} \), also:

\[
7.36 \, \text{MeV} \approx 7.36 \times 1.6 \times 10^{-13} \, \text{J} \approx 1.1776 \times 10^{-12} \, \text{J}
\]

Für die Berechnung der Geschwindigkeit \( v \) kann die Formel für die relativistische Energie umgestellt werden. Eine vereinfachte Methode ist, die relativistische Beziehung zwischen Energie und Geschwindigkeit zu verwenden:

\[
E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}
\]

Diese Gleichung kann umgestellt werden, um \( v \) zu isolieren. Die Berechnung kann jedoch komplex sein. Eine Näherung für nicht-relativistische Geschwindigkeiten ist:

\[
v \approx \sqrt{\frac{2E}{m}}
\]

Für die Ruhemasse \( m \) des α-Teilchens:

\[
v \approx \sqrt{\frac{2 \times 1.1776 \times 10^{-12} \, \text{J}}{6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg}}}
\]

Das ergibt:

\[
v \approx \sqrt{\frac{2.3552 \times 10^{-12}}{6.64 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{3.55 \times 10^{14}} \approx 5.95 \times 10^6 \, \text{m/s}
\]

Die Geschwindigkeit der α-Teilchen, die auf die Goldfolie auftrafen, beträgt also ungefähr \( 5.95 \times 10^6 \, \text{m/s} \).