Welche Geschwindigkeit hatten die α-Teilchen mit 7,36 MeV auf der Goldfolie?

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Um die Geschwindigkeit der α-Teilchen zu berechnen, die eine Energie von 7,36 MeV besitzen, kannst du die Beziehung zwischen kinetischer Energie und Geschwindigkeit verwenden. Die kinetische Energie \( E \) eines Teilchens ist gegeben durch die Formel: \[ E = \frac{1}{2} m v^2 \] Für relativistische Geschwindigkeiten muss jedoch die relativistische Energieformel verwendet werden: \[ E = \sqrt{(pc)^2 + (m_0 c^2)^2} \] Hierbei ist \( p \) der Impuls, \( m_0 \) die Ruhemasse des α-Teilchens und \( c \) die Lichtgeschwindigkeit. Die Ruhemasse eines α-Teilchens beträgt etwa \( 4 \, \text{u} \) (u ist die atomare Masseneinheit, etwa \( 1.66 \times 10^{-27} \, \text{kg} \)), was ungefähr \( 4 \times 1.66 \times 10^{-27} \, \text{kg} \approx 6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg} \) ergibt. Um die Geschwindigkeit zu berechnen, ist es einfacher, die Energie in Joule umzurechnen. 1 MeV entspricht etwa \( 1.6 \times 10^{-13} \, \text{J} \), also: \[ 7.36 \, \text{MeV} \approx 7.36 \times 1.6 \times 10^{-13} \, \text{J} \approx 1.1776 \times 10^{-12} \, \text{J} \] Für die Berechnung der Geschwindigkeit \( v \) kann die Formel für die relativistische Energie umgestellt werden. Eine vereinfachte Methode ist, die relativistische Beziehung zwischen Energie und Geschwindigkeit zu verwenden: \[ E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} \] Diese Gleichung kann umgestellt werden, um \( v \) zu isolieren. Die Berechnung kann jedoch komplex sein. Eine Näherung für nicht-relativistische Geschwindigkeiten ist: \[ v \approx \sqrt{\frac{2E}{m}} \] Für die Ruhemasse \( m \) des α-Teilchens: \[ v \approx \sqrt{\frac{2 \times 1.1776 \times 10^{-12} \, \text{J}}{6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg}}} \] Das ergibt: \[ v \approx \sqrt{\frac{2.3552 \times 10^{-12}}{6.64 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{3.55 \times 10^{14}} \approx 5.95 \times 10^6 \, \text{m/s} \] Die Geschwindigkeit der α-Teilchen, die auf die Goldfolie auftrafen, beträgt also ungefähr \( 5.95 \times 10^6 \, \text{m/s} \).

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