Welche Auslenkung hat ein Oszillator nach 0,35 s in 16 cm Entfernung?

Um die Auslenkung eines Oszillators zu einem bestimmten Zeitpunkt zu berechnen, kann die allgemeine Formel für die harmonische Schwingung verwendet werden:

\[ y(t) = A \cdot \sin(kx - \omega t + \phi) \]

Dabei ist:
- \( y(t) \) die Auslenkung zur Zeit \( t \),
- \( A \) die Amplitude,
- \( k \) die Wellenzahl,
- \( x \) die Entfernung vom Erregerzentrum,
- \( \omega \) die Kreisfrequenz,
- \( t \) die Zeit,
- \( \phi \) die Phasenverschiebung.

Gegeben sind:
- Amplitude \( A = 3 \) (Einheit nicht angegeben, aber typischerweise in cm oder m),
- Wellenlänge \( \lambda = 0.16 \) m,
- Entfernung \( x = 16 \) cm = 0.16 m,
- Zeit \( t = 0.35 \) s.

Zuerst berechnen wir die Wellenzahl \( k \) und die Kreisfrequenz \( \omega \):

1. **Wellenzahl \( k \)**:
\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.16} \approx 39.27 \, \text{m}^{-1} \]

2. **Kreisfrequenz \( \omega \)**:
Um \( \omega \) zu berechnen, benötigen wir die Frequenz \( f \). Diese ist nicht direkt gegeben, aber wir können sie aus der Wellenlänge und der Geschwindigkeit \( v \) (typischerweise \( v = 343 \, \text{m/s} \) für Schall in Luft) ableiten:
\[ f = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{0.16} \approx 2143.75 \, \text{Hz} \]
\[ \omega = 2\pi f \approx 2\pi \cdot 2143.75 \approx 13480.5 \, \text{s}^{-1} \]

3. **Berechnung der Auslenkung \( y(t) \)**:
Setzen wir die Werte in die Formel ein. Angenommen, die Phasenverschiebung \( \phi = 0 \) (was oft der Fall ist, wenn nicht anders angegeben):
\[ y(0.35) = 3 \cdot \sin(39.27 \cdot 0.16 - 13480.5 \cdot 0.35) \]

Berechne die Argumente:
\[ kx = 39.27 \cdot 0.16 \approx 6.284 \]
\[ \omega t = 13480.5 \cdot 0.35 \approx 4718.175 \]

Setze die Werte ein:
\[ y(0.35) = 3 \cdot \sin(6.284 - 4718.175) \]

Da der Sinus eine periodische Funktion ist, können wir den Wert von \( 4718.175 \) modulo \( 2\pi \) nehmen, um den Sinuswert zu berechnen.

Das Ergebnis wird eine Auslenkung in der Einheit der Amplitude (z.B. cm oder m) sein.

Die genaue Auslenkung kann durch die Berechnung des Sinuswertes und die Multiplikation mit der Amplitude ermittelt werden.