Wie viele Radiumkerne (Ra88226) bleiben nach 1600, 3200, 4800 Jahren übrig, wenn man heute mit 1024 Radiumkernen startet?

Um die verbleibende Anzahl von Radiumkernen (Ra-226) nach einer bestimmten Zeit zu berechnen, benötigt man die Halbwertszeit des Isotops. Die Halbwertszeit von Radium-226 beträgt etwa 1600 Jahre.

Die Formel zur Berechnung der verbleibenden Menge eines radioaktiven Isotops lautet:

\[ N(t) = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \]

wobei:
- \( N(t) \) die verbleibende Anzahl der Kerne nach der Zeit \( t \) ist,
- \( N_0 \) die ursprüngliche Anzahl der Kerne ist,
- \( T_{1/2} \) die Halbwertszeit ist,
- \( t \) die vergangene Zeit ist.

Für die Berechnungen:

1. **Nach 1600 Jahren:**
\[ N(1600) = 1024 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1600}{1600}} = 1024 \times \frac{1}{2} = 512 \]

2. **Nach 3200 Jahren:**
\[ N(3200) = 1024 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{3200}{1600}} = 1024 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = 1024 \times \frac{1}{4} = 256 \]

3. **Nach 4800 Jahren:**
\[ N(4800) = 1024 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{4800}{1600}} = 1024 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = 1024 \times \frac{1}{8} = 128 \]

Zusammenfassend bleiben nach:
- 1600 Jahren: 512 Radiumkerne
- 3200 Jahren: 256 Radiumkerne
- 4800 Jahren: 128 Radiumkerne