Lässt sich aus 4 natürlichen Zahlen stets 3 Zahlen wählen, deren Summe durch 3 teilbar ist?

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Um zu untersuchen, ob aus 4 natürlichen Zahlen stets 3 Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, betrachten wir die möglichen Reste der Zahlen modulo 3. Jede natürliche Zahl kann den Rest 0, 1 oder 2 haben, wenn sie durch 3 geteilt wird. Es gibt insgesamt 3 mögliche Reste: - Rest 0 (nennen wir diese Zahlen \(a\)) - Rest 1 (nennen wir diese Zahlen \(b\)) - Rest 2 (nennen wir diese Zahlen \(c\)) Wenn wir 4 natürliche Zahlen haben, können wir die Anzahl der Zahlen in jeder Kategorie (Rest 0, Rest 1, Rest 2) zählen. Es gibt einige Fälle, die wir betrachten müssen: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens 3 Zahlen mit dem gleichen Rest. - Wenn alle 3 Zahlen den gleichen Rest haben (z.B. 3 Zahlen mit Rest 0), dann ist ihre Summe durch 3 teilbar. 2. **Fall 2:** Es gibt 2 Zahlen mit einem Rest und 2 mit einem anderen Rest. - Zum Beispiel 2 Zahlen mit Rest 1 und 2 mit Rest 2. In diesem Fall können wir eine Zahl mit Rest 1 und eine mit Rest 2 auswählen, und die dritte Zahl kann entweder eine weitere Zahl mit Rest 1 oder Rest 2 sein. In beiden Fällen wird die Summe durch 3 teilbar sein. 3. **Fall 3:** Es gibt 1 Zahl mit Rest 0, 1 Zahl mit Rest 1 und 2 Zahlen mit Rest 2 (oder umgekehrt). - Hier können wir die Zahl mit Rest 0 und eine der beiden Zahlen mit Rest 2 auswählen. Die Summe wird durch 3 teilbar sein. 4. **Fall 4:** Es gibt 1 Zahl mit Rest 0, 2 Zahlen mit Rest 1 und 1 Zahl mit Rest 2. - Hier können wir die beiden Zahlen mit Rest 1 auswählen und die Zahl mit Rest 0. Auch diese Summe wird durch 3 teilbar sein. In allen möglichen Verteilungen der Reste der 4 Zahlen können wir immer 3 Zahlen finden, deren Summe durch 3 teilbar ist. Daher lautet die Antwort: Ja, aus 4 natürlichen Zahlen lassen sich stets 3 Zahlen auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.

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