Wie hängt bei einer zentrischen Streckung der Flächeninhalt der Bildfigur vom Flächeninhalt der Originalfigur und dem Streckfaktor ab?

Question

Wie hängt bei einer zentrischen Streckung der Flächeninhalt der Bildfigur vom Flächeninhalt der Originalfigur und dem Streckfaktor ab?

Antwort

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Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

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Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird eine Figur von einem Zentrum ausgehend vergrößert oder verkleinert. Der Streckfaktor \( k \) gibt an, um wie viel die Abstände der Punkte der Figur vom Zentrum der Streckung verändert werden. Der Flächeninhalt der Bildfigur hängt quadratisch vom Streckfaktor \( k \) ab. Das bedeutet, wenn der Streckfaktor \( k \) ist, dann ist der Flächeninhalt der Bildfigur \( k^2 \) mal so groß wie der Flächeninhalt der Originalfigur. Mathematisch ausgedrückt: - Sei \( A \) der Flächeninhalt der Originalfigur. - Sei \( A' \) der Flächeninhalt der Bildfigur nach der zentrischen Streckung. Dann gilt: \[ A' = k^2 \cdot A \] Das bedeutet, wenn der Streckfaktor \( k \) beispielsweise 2 ist, dann ist der Flächeninhalt der Bildfigur \( 2^2 = 4 \) mal so groß wie der Flächeninhalt der Originalfigur. Wenn der Streckfaktor \( k \) 0,5 ist, dann ist der Flächeninhalt der Bildfigur \( 0,5^2 = 0,25 \) mal so groß wie der Flächeninhalt der Originalfigur.

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen: Der Radius ist die Hälfte... [mehr]

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen: Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. \[ r = \frac{d}{2} \] wobei \(d\) der Durchmesser ist. 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \(A\) eines Kreises wird mit der Formel \[ A = \pi r^2 \] berechnet. **Beispiel**: Angenommen, der Durchmesser des Kreises beträgt 10 cm. 1. Berechne den Radius: \[ r = \frac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm} \] 2. Berechne den Flächeninhalt: \[ A = \pi (5 \, \text{cm})^2 = \pi \times 25 \, \text{cm}^2 \approx 78,54 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ungefähr 78,54 cm².

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen**: Der Radius \( r \) ist die H&... [mehr]

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen**: Der Radius \( r \) ist die Hälfte des Durchmessers \( d \). Das bedeutet: \[ r = \frac{d}{2} \] 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises wird mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet. Setze den Radius in die Formel ein: \[ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \] 3. **Vereinfachen**: Das ergibt: \[ A = \pi \frac{d^2}{4} \] Somit kannst du den Flächeninhalt eines Kreises berechnen, indem du den Durchmesser in die Formel \( A = \frac{\pi d^2}{4} \) einsetzt.

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Um den Radius eines Kreises zu berechnen, wenn du den Flächeninhalt (A) kennst, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden: \[ A = \pi r^2 \] Dabei ist \( r \)... [mehr]

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Um den Radius eines Kreises zu berechnen, wenn du den Flächeninhalt (A) kennst, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden: \[ A = \pi r^2 \] Dabei ist \( r \) der Radius des Kreises und \( \pi \) ist eine mathematische Konstante, die ungefähr 3,59 beträgt. Um den Radius zu finden, kannst du die Formel umstellen: 1. Teile den Flächeninhalt durch \( \pi \): \[ r^2 = \frac{A}{\pi} \] 2. Ziehe die Quadratwurzel, um den Radius zu erhalten: \[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \] Jetzt kannst du den Radius berechnen, wenn du den Flächeninhalt kennst.

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Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises kann mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet werden, wobei \( r \) der Radius des Kreises ist. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. In dies... [mehr]

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Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises kann mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet werden, wobei \( r \) der Radius des Kreises ist. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. In diesem Fall beträgt der Durchmesser 47 Meter, also ist der Radius: \[ r = \frac{47}{2} = 23,5 \text{ Meter} \] Nun berechnen wir den Flächeninhalt: \[ A = \pi (23,5)^2 \approx 3,14159 \times 552,25 \approx 1735,57 \text{ Quadratmeter} \] Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ungefähr 1735,57 Quadratmeter.

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Um den Außendurchmesser zu berechnen, wenn der Innendurchmesser und der Flächeninhalt gegeben sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Innendurchmesser (d_in)**: Dieser ist gegeben... [mehr]

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Um den Außendurchmesser zu berechnen, wenn der Innendurchmesser und der Flächeninhalt gegeben sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Innendurchmesser (d_in)**: Dieser ist gegeben. Der Radius (r_in) ist die Hälfte des Innendurchmessers: \[ r_{in} = \frac{d_{in}}{2} \] 2. **Flächeninhalt (A)**: Der Flächeninhalt ist ebenfalls gegeben. Der Flächeninhalt eines Kreises wird durch die Formel \(A = \pi r^2\) beschrieben. Um den Außendurchmesser zu finden, benötigst du den Außendurchmesser (d_out) und den dazugehörigen Radius (r_out): \[ A = \pi r_{out}^2 \] 3. **Berechne den Außendurchmesser**: Um den Außendurchmesser zu finden, musst du zuerst den Radius des äußeren Kreises berechnen: \[ r_{out} = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \] Dann kannst du den Außendurchmesser berechnen: \[ d_{out} = 2 \cdot r_{out} \] 4. **Zusammenfassung**: Setze die Werte in die Formeln ein, um den Außendurchmesser zu berechnen. Beachte, dass der Flächeninhalt A den Bereich zwischen dem inneren und äußeren Kreis beschreibt, also sicherstellen musst, dass der Flächeninhalt korrekt interpretiert wird, wenn du die Berechnungen durchführst.