Wie hängt bei einer zentrischen Streckung der Flächeninhalt der Bildfigur vom Flächeninhalt der Originalfigur und dem Streckfaktor ab?

Question

Wie hängt bei einer zentrischen Streckung der Flächeninhalt der Bildfigur vom Flächeninhalt der Originalfigur und dem Streckfaktor ab?

Antwort

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Wie stelle ich einen Term für den Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit einer Seite auf?

Wie berechnet man die Länge eines Vorfahrtsstraßen-Schildes mit 3600 cm² Fläche und die Fläche des halb so langen gelben Quadrats?

Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird eine Figur von einem Zentrum ausgehend vergrößert oder verkleinert. Der Streckfaktor \( k \) gibt an, um wie viel die Abstände der Punkte der Figur vom Zentrum der Streckung verändert werden. Der Flächeninhalt der Bildfigur hängt quadratisch vom Streckfaktor \( k \) ab. Das bedeutet, wenn der Streckfaktor \( k \) ist, dann ist der Flächeninhalt der Bildfigur \( k^2 \) mal so groß wie der Flächeninhalt der Originalfigur. Mathematisch ausgedrückt: - Sei \( A \) der Flächeninhalt der Originalfigur. - Sei \( A' \) der Flächeninhalt der Bildfigur nach der zentrischen Streckung. Dann gilt: \[ A' = k^2 \cdot A \] Das bedeutet, wenn der Streckfaktor \( k \) beispielsweise 2 ist, dann ist der Flächeninhalt der Bildfigur \( 2^2 = 4 \) mal so groß wie der Flächeninhalt der Originalfigur. Wenn der Streckfaktor \( k \) 0,5 ist, dann ist der Flächeninhalt der Bildfigur \( 0,5^2 = 0,25 \) mal so groß wie der Flächeninhalt der Originalfigur.

Accepted Answer

Um einen Term für den Flächeninhalt \( A \) eines Rechtecks in Abhängigkeit von einer Seite aufzustellen, benötigst du die Länge einer Seite (z. B. \( a \)) und einen Ausdruck... [mehr]

Accepted Answer

Um einen Term für den Flächeninhalt \( A \) eines Rechtecks in Abhängigkeit von einer Seite aufzustellen, benötigst du die Länge einer Seite (z. B. \( a \)) und einen Ausdruck für die andere Seite (z. B. \( b \)) in Abhängigkeit von \( a \). Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Rechtecks: \[ A = a \cdot b \] Wenn die andere Seite \( b \) in Abhängigkeit von \( a \) gegeben ist, zum Beispiel \( b = f(a) \), dann lautet der Term: \[ A(a) = a \cdot f(a) \] **Beispiel:** Angenommen, der Umfang des Rechtecks ist konstant, z. B. \( U = 20 \). Dann gilt: \[ U = 2a + 2b = 20 \] \[\Rightarrow a + b = 10 \] \[\Rightarrow b = 10 - a \] Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \( a \) ist dann: \[ A(a) = a \cdot (10 - a) \] **Zusammengefasst:** Stelle die zweite Seite in Abhängigkeit von der ersten auf und setze sie in die Flächenformel ein.

Accepted Answer

Gegeben: - Fläche des Schildes: \( A_{\text{Schild}} = 3600\,\text{cm}^2 \) - Das gelbe Quadrat ist halb so lang wie das Schild (gemeint ist: die Seitenlänge des Quadrats ist halb so gro&sz... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben: - Fläche des Schildes: \( A_{\text{Schild}} = 3600\,\text{cm}^2 \) - Das gelbe Quadrat ist halb so lang wie das Schild (gemeint ist: die Seitenlänge des Quadrats ist halb so groß wie die Seitenlänge des Schildes). **1. Länge des Schildes berechnen:** Das Schild ist quadratisch (da das gelbe Quadrat darin liegt). Sei \( a \) die Seitenlänge des Schildes. \[ a^2 = 3600\,\text{cm}^2 \] \[ a = \sqrt{3600}\,\text{cm} = 60\,\text{cm} \] **2. Seitenlänge und Fläche des gelben Quadrats:** Die Seitenlänge des gelben Quadrats ist halb so lang wie die des Schildes: \[ a_{\text{gelb}} = \frac{a}{2} = \frac{60\,\text{cm}}{2} = 30\,\text{cm} \] Fläche des gelben Quadrats: \[ A_{\text{gelb}} = a_{\text{gelb}}^2 = (30\,\text{cm})^2 = 900\,\text{cm}^2 \] **Antwort:** - Die Seitenlänge des Schildes beträgt **60 cm**. - Der Flächeninhalt des gelben Quadrats beträgt **900 cm²**.

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Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)