Wie kann Mia mit einem 11m langen Zaun und einer 3m langen Wand den größten Flächeninhalt erstellen?

Um den größtmöglichen Flächeninhalt zu berechnen, den Mia mit ihrem 11 m langen Zaun und der 3 m langen Wand erreichen kann, betrachten wir die Situation als ein Rechteck, wobei eine Seite des Rechtecks an der Wand liegt.

Sei \( x \) die Länge der Seite des Rechtecks, die parallel zur Wand verläuft, und \( y \) die Länge der beiden anderen Seiten, die senkrecht zur Wand stehen. Der Umfang des Zauns ergibt sich aus der Formel:

\[
x + 2y = 11
\]

Daraus folgt:

\[
x = 11 - 2y
\]

Der Flächeninhalt \( A \) des Rechtecks ist gegeben durch:

\[
A = x \cdot y
\]

Setzen wir \( x \) aus der vorherigen Gleichung in die Flächeninhalt-Formel ein:

\[
A = (11 - 2y) \cdot y
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
A = 11y - 2y^2
\]

Um den maximalen Flächeninhalt zu finden, leiten wir \( A \) nach \( y \) ab und setzen die Ableitung gleich null:

\[
\frac{dA}{dy} = 11 - 4y
\]

Setzen wir die Ableitung gleich null:

\[
11 - 4y = 0 \implies 4y = 11 \implies y = \frac{11}{4} = 2,75 \, \text{m}
\]

Nun setzen wir \( y \) zurück in die Gleichung für \( x \):

\[
x = 11 - 2 \cdot 2,75 = 11 - 5,5 = 5,5 \, \text{m}
\]

Der maximale Flächeninhalt ist dann:

\[
A = x \cdot y = 5,5 \cdot 2,75 = 15,125 \, \text{m}^2
\]

Somit beträgt der größte Flächeninhalt, den Mia mit ihrem Zaun und der Wand erreichen kann, 15,125 m².