Zeige, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen auswählbar sind, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als das Schubfachprinzip). Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt: - Klasse 0: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 haben. - Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben. - Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben. Wenn wir fünf natürliche Zahlen betrachten, können wir diese in die drei Klassen einordnen. Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei der fünf Zahlen in einer der Klassen liegen, da es nur drei Klassen gibt. Es gibt nun zwei Fälle zu betrachten: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen in einer der Klassen (z.B. Klasse 0). In diesem Fall ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar, da die Summe von Zahlen, die alle den gleichen Rest 0 haben, ebenfalls den Rest 0 hat. 2. **Fall 2:** Es gibt in jeder der Klassen 0, 1 und 2 mindestens eine Zahl, und in einer der Klassen gibt es zwei Zahlen. Nehmen wir an, wir haben zwei Zahlen in Klasse 1 und eine Zahl in Klasse 2. Dann können wir die beiden Zahlen aus Klasse 1 und die Zahl aus Klasse 2 auswählen. Die Summe dieser drei Zahlen hat den Rest \(1 + 1 + 2 = 4\), was bei Division durch 3 den Rest 1 ergibt. Um jedoch sicherzustellen, dass wir eine Summe von 0 erhalten, können wir auch andere Kombinationen betrachten, z.B. zwei Zahlen aus Klasse 0 und eine aus Klasse 1 oder Klasse 2. In jedem Fall zeigt die Argumentation, dass es immer möglich ist, drei Zahlen auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Daher ist die Aussage bewiesen.