Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Untersuche, ob aus vier natürlichen Zahlen stets drei Zahlen auswählbar sind, deren Summe durch 3 teilbar ist.
Antwort vomJa, aus vier natürlichen Zahlen lassen sich stets drei Zahlen auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Dies folgt aus dem Pigeonhole-Prinzip. Jede natürliche Zahl hat einen Rest von 0, 1 oder 2, wenn sie durch 3 geteilt wird. Bei vier Zahlen müssen mindestens zwei Zahlen den gleichen Rest haben (da es nur drei mögliche Reste gibt). Es gibt nun zwei Fälle: 1. Wenn mindestens zwei Zahlen den Rest 0 haben, ist die Summe dieser beiden Zahlen und einer weiteren Zahl (egal welcher Rest) durch 3 teilbar. 2. Wenn zwei Zahlen den Rest 1 und zwei Zahlen den Rest 2 haben, kann man eine Zahl mit Rest 1 und eine mit Rest 2 auswählen, und die dritte Zahl kann ebenfalls Rest 1 oder 2 haben, was ebenfalls zu einer Summe führt, die durch 3 teilbar ist. Somit ist es immer möglich, drei Zahlen auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.
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