Wie löse ich x(2x – 9) < –10 mit der pq-Formel?

Um die Ungleichung \( x(2x - 9) < -10 \) mit der pq-Formel zu lösen, musst du zuerst die Ungleichung in die Standardform einer quadratischen Gleichung bringen.

1. **Umformen der Ungleichung**:
\[
x(2x - 9) + 10 < 0
\]
Das ergibt:
\[
2x^2 - 9x + 10 < 0
\]

2. **Bestimmen der Koeffizienten**:
Hier ist \( a = 2 \), \( b = -9 \) und \( c = 10 \).

3. **Berechnung der Diskriminante**:
Die Diskriminante \( D \) wird berechnet mit:
\[
D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1
\]

4. **Berechnung der Nullstellen**:
Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene Nullstellen. Diese werden mit der Formel \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) berechnet:
\[
x_1 = \frac{9 - \sqrt{1}}{4} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2
\]
\[
x_2 = \frac{9 + \sqrt{1}}{4} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = 2.5
\]

5. **Intervallanalyse**:
Die Nullstellen sind \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = 2.5 \). Um die Ungleichung \( 2x^2 - 9x + 10 < 0 \) zu lösen, untersuche die Intervalle:
- \( (-\infty, 2) \)
- \( (2, 2.5) \)
- \( (2.5, \infty) \)

Wähle Testwerte aus jedem Intervall:
- Für \( x = 0 \) (in \( (-\infty, 2) \)): \( 2(0)^2 - 9(0) + 10 = 10 > 0 \)
- Für \( x = 2.2 \) (in \( (2, 2.5) \)): \( 2(2.2)^2 - 9(2.2) + 10 = 9.68 - 19.8 + 10 = -0.12 < 0 \)
- Für \( x = 3 \) (in \( (2.5, \infty) \)): \( 2(3)^2 - 9(3) + 10 = 18 - 27 + 10 = 1 > 0 \)

6. **Lösung der Ungleichung**:
Die Ungleichung ist also in dem Intervall \( (2, 2.5) \) erfüllt.

Die Lösung der Ungleichung \( x(2x - 9) < -10 \) ist somit:
\[
x \in (2, 2.5)
\]