Wie löse ich x(2x – 9) < –10 mit der pq-Formel?

Question

Wie löse ich x(2x – 9) < –10 mit der pq-Formel?

Antwort

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Accepted Answer

Um die Ungleichung \( x(2x - 9) < -10 \) mit der pq-Formel zu lösen, musst du zuerst die Ungleichung in die Standardform einer quadratischen Gleichung bringen. 1. **Umformen der Ungleichung**: \[ x(2x - 9) + 10 < 0 \] Das ergibt: \[ 2x^2 - 9x + 10 < 0 \] 2. **Bestimmen der Koeffizienten**: Hier ist \( a = 2 \), \( b = -9 \) und \( c = 10 \). 3. **Berechnung der Diskriminante**: Die Diskriminante \( D \) wird berechnet mit: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 \] 4. **Berechnung der Nullstellen**: Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene Nullstellen. Diese werden mit der Formel \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) berechnet: \[ x_1 = \frac{9 - \sqrt{1}}{4} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{9 + \sqrt{1}}{4} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \] 5. **Intervallanalyse**: Die Nullstellen sind \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = 2.5 \). Um die Ungleichung \( 2x^2 - 9x + 10 < 0 \) zu lösen, untersuche die Intervalle: - \( (-\infty, 2) \) - \( (2, 2.5) \) - \( (2.5, \infty) \) Wähle Testwerte aus jedem Intervall: - Für \( x = 0 \) (in \( (-\infty, 2) \)): \( 2(0)^2 - 9(0) + 10 = 10 > 0 \) - Für \( x = 2.2 \) (in \( (2, 2.5) \)): \( 2(2.2)^2 - 9(2.2) + 10 = 9.68 - 19.8 + 10 = -0.12 < 0 \) - Für \( x = 3 \) (in \( (2.5, \infty) \)): \( 2(3)^2 - 9(3) + 10 = 18 - 27 + 10 = 1 > 0 \) 6. **Lösung der Ungleichung**: Die Ungleichung ist also in dem Intervall \( (2, 2.5) \) erfüllt. Die Lösung der Ungleichung \( x(2x - 9) < -10 \) ist somit: \[ x \in (2, 2.5) \]

Accepted Answer

**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **... [mehr]

Accepted Answer

**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \) 2. **Umstellen:** \( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \) \( x^3 - x^2 - 2x = 0 \) 3. **Ausklammern:** \( x(x^2 - x - 2) = 0 \) 4. **Nullstellen bestimmen:** a) \( x = 0 \) b) \( x^2 - x - 2 = 0 \) Die quadratische Gleichung lösen: \( x^2 - x - 2 = 0 \) Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \) Also: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \). 5. **y-Koordinaten berechnen:** Für \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \) Schnittpunkt: \( (0|0) \) Für \( x = 2 \): \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) Schnittpunkt: \( (2|2) \) Für \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \) Schnittpunkt: \( (-1|-4) \) **Antwort:** Die Graphen schneiden sich in den Punkten \( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert. **Beispiel einer Differentialgleichung:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \] Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung. **Lösen einer Differentialgleichung:** Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt. **Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:** 1. **Trennung der Variablen:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx \] 2. **Integration beider Seiten:** \[ \int \frac{1}{y}dy = \int 3dx \] \[ \ln|y| = 3x + C \] (C ist die Integrationskonstante.) 3. **Umstellen nach \( y \):** \[ |y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x} \] \[ y(x) = A e^{3x} \] (mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.) **Zusammenfassung:** - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. - Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. - Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs). Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).

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Um das Additions (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt. Hier sind die beiden Gleichungen: (I) 4x + 3y = 5 (II) -4x - 5y = -5 **Schritt 1: Gleichungen addieren** Addiere (I) und (II): (4x + 3y) + (-4x - 5y) = 5 + (-5) 4x - 4x + 3y - 5y = 0 0x + (-2y) = 0 -2y = 0 **Schritt 2: Nach y auflösen** -2y = 0 y = 0 **Schritt 3: y in eine der Gleichungen einsetzen** Setze y = 0 in (I) ein: 4x + 3·0 = 5 4x = 5 x = 5/4 **Lösung:** x = 5/4 y = 0 **Lösungsmenge:** L = { (5/4 | 0) }