Bestimme den Winkel φ zwischen den Vektoren u = (1, 2, 3) und v = (4, 5, 6).

Um den Winkel φ zwischen den beiden Vektoren \( \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) und \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \) zu bestimmen, kannst du die Formel für den Kosinus des Winkels verwenden:

\[
\cos(\phi) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}
\]

Hierbei ist \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) das Skalarprodukt der Vektoren und \( \|\mathbf{u}\| \) und \( \|\mathbf{v}\| \) die Längen der Vektoren.

1. **Berechnung des Skalarprodukts \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \)**:

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32
\]

2. **Berechnung der Längen der Vektoren**:

\[
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
\]

\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77}
\]

3. **Einsetzen in die Formel**:

\[
\cos(\phi) = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}}
\]

4. **Berechnung von φ**:

Um den Winkel φ zu finden, nimm den arccos:

\[
\phi = \arccos\left(\frac{32}{\sqrt{1078}}\right)
\]

Jetzt kannst du den Wert von φ mit einem Taschenrechner oder einer Software berechnen. Der Winkel φ wird in Radiant oder Grad angegeben, je nach Bedarf.