Wie analysiert man die Funktion f(x)=2x²+8x+6?

Um zu überprüfen, ob die gegebene Funktion \( f(x) 2x^2 + x + 6 \) den Wertebereich \( W_f = [0, 96] \) hat und ob die Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \) korrekt ist, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmung des Wertebereichs von \( f \)**:
- Die Funktion \( f(x) \) ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist.
- Um den Wertebereich zu bestimmen, berechnen wir den Scheitelpunkt der Parabel. Der Scheitelpunkt \( x_s \) kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) gefunden werden, wobei \( a = 2 \) und \( b = 8 \):
\[
x_s = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2
\]
- Da \( x_s = -2 \) nicht im Intervall \([-1, 5]\) liegt, müssen wir die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls untersuchen:
- \( f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0 \)
- \( f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96 \)
- Somit ist der Wertebereich \( W_f = [0, 96] \).

2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**:
- Um die Umkehrfunktion zu finden, setzen wir \( y = f(x) \):
\[
y = 2x^2 + 8x + 6
\]
- Um \( x \) in Abhängigkeit von \( y \) zu isolieren, stellen wir die Gleichung um:
\[
2x^2 + 8x + (6 - y) = 0
\]
- Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (6 - y)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
= \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 8(6 - y)}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48 + 8y}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 + 8y}}{4}
\]
\[
= \frac{-8 \pm 2\sqrt{2(2 + y)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2(2 + y)}}{2}
\]
- Da wir nur den positiven Zweig für die Umkehrfunktion betrachten (da \( f \) im gegebenen Intervall monoton ist), erhalten wir:
\[
f^{-1}(y) = -2 + \frac{\sqrt{2(2 + y)}}{2}
\]

Die gegebene Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \) scheint nicht korrekt zu sein. Die korrekte Umkehrfunktion ist also nicht wie angegeben.

Zusammenfassend ist der Wertebereich \( W_f = [0, 96] \) korrekt, aber die angegebene Umkehrfunktion ist nicht richtig.