Wie analysiert man die Funktion f(x)=2x²+8x+6?

Um zu überprüfen, ob die gegebene Funktion \( f(x) 2x^2 + x + 6 \) den Wertebereich \( W_f = [0, 96] \) hat und ob die Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \) korrekt ist, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimmung des Wertebereichs von \( f \)**: - Die Funktion \( f(x) \) ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist. - Um den Wertebereich zu bestimmen, berechnen wir den Scheitelpunkt der Parabel. Der Scheitelpunkt \( x_s \) kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) gefunden werden, wobei \( a = 2 \) und \( b = 8 \): \[ x_s = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2 \] - Da \( x_s = -2 \) nicht im Intervall \([-1, 5]\) liegt, müssen wir die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls untersuchen: - \( f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0 \) - \( f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96 \) - Somit ist der Wertebereich \( W_f = [0, 96] \). 2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**: - Um die Umkehrfunktion zu finden, setzen wir \( y = f(x) \): \[ y = 2x^2 + 8x + 6 \] - Um \( x \) in Abhängigkeit von \( y \) zu isolieren, stellen wir die Gleichung um: \[ 2x^2 + 8x + (6 - y) = 0 \] - Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (6 - y)}}{2 \cdot 2} \] \[ = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 8(6 - y)}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48 + 8y}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 + 8y}}{4} \] \[ = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2(2 + y)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2(2 + y)}}{2} \] - Da wir nur den positiven Zweig für die Umkehrfunktion betrachten (da \( f \) im gegebenen Intervall monoton ist), erhalten wir: \[ f^{-1}(y) = -2 + \frac{\sqrt{2(2 + y)}}{2} \] Die gegebene Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \) scheint nicht korrekt zu sein. Die korrekte Umkehrfunktion ist also nicht wie angegeben. Zusammenfassend ist der Wertebereich \( W_f = [0, 96] \) korrekt, aber die angegebene Umkehrfunktion ist nicht richtig.