Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
Hat die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6 den Wertebereich Wf=[0,96] und ist sie nicht umkehrbar?
Antwort vomUm zu überprüfen, ob die Funktion \( f(x) = 2^2 + x + 6 \) auf dem Intervall \([-1, 5]\) umkehrbar ist, müssen wir zunächst den Wertebereich der Funktion bestimmen und dann die Monotonie analysieren. 1. **Bestimmung des Wertebereichs**: Die Funktion ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist Um den Wertebereich zu finden, berechnen wir die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls und den Scheitelpunkt. - Funktionswert an \( x = -1 \): \[ f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0 \] - Funktionswert an \( x = 5 \): \[ f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 2 \cdot 25 + 40 + 6 = 50 + 40 + 6 = 96 \] - Der Scheitelpunkt der Parabel kann mit der Formel \( x = -\frac{b}{2a} \) gefunden werden: \[ x = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2 \] Da \( -2 \) nicht im Intervall \([-1, 5]\) liegt, betrachten wir nur die Randwerte. Der Wertebereich ist also \( W_f = [0, 96] \). 2. **Monotonie**: Um zu überprüfen, ob die Funktion umkehrbar ist, müssen wir feststellen, ob sie monoton ist. Dazu betrachten wir die Ableitung: \[ f'(x) = 4x + 8 \] Setzen wir die Ableitung gleich null, um kritische Punkte zu finden: \[ 4x + 8 = 0 \implies x = -2 \] Da \( f'(-2) < 0 \) für \( x < -2 \) und \( f'(-2) > 0 \) für \( x > -2 \), ist die Funktion im Intervall \([-1, 5]\) nicht monoton, da sie an der Stelle \( x = -2 \) einen Wendepunkt hat. Da die Funktion nicht monoton ist, ist sie nicht umkehrbar auf dem gegebenen Intervall. Zusammenfassend ist die Aussage korrekt: \( f:[-1,5] \to W_f \) ist nicht umkehrbar.
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