Um den Wendepunkt und die dazugehörige Wendetangente der Funktion \( f(x) = 6x^4 - 8x^3 - 24x^2 \) zu finden, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion bestimmen und die Bedingungen für einen Wendepunkt überprüfen. 1. **Erste Ableitung** \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^4 - 8x^3 - 24x^2) = 24x^3 - 24x^2 - 48x \] 2. **Zweite Ableitung** \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(24x^3 - 24x^2 - 48x) = 72x^2 - 48x - 48 \] 3. **Wendepunkte finden**: Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich null: \[ 72x^2 - 48x - 48 = 0 \] Diese Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \cdot 72 \cdot (-48)}}{2 \cdot 72} \] \[ = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 13824}}{144} = \frac{48 \pm \sqrt{16128}}{144} \] \[ = \frac{48 \pm 126.9}{144} \] Dies ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 \approx \frac{174.9}{144} \approx 1.215 \quad \text{und} \quad x_2 \approx \frac{-78.9}{144} \approx -0.549 \] 4. **Wendepunkte berechnen**: Setze \( x_1 \) und \( x_2 \) in die Funktion \( f(x) \) ein, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu finden: \[ f(1.215) \quad \text{und} \quad f(-0.549) \] 5. **Wendetangente**: Die Wendetangente an einem Wendepunkt hat die Steigung, die durch die erste Ableitung an diesem Punkt gegeben ist. Berechne \( f'(1.215) \) und \( f'(-0.549) \) für die Steigungen der Wendetangenten. Zusammenfassend erhältst du die Wendepunkte und die dazugehörigen Wendetangenten, indem du die oben genannten Schritte ausführst.