Wendepunkt und Wendetangente von f(x)=6x^4-8x^3-24x^2 berechnen?

Um den Wendepunkt und die dazugehörige Wendetangente der Funktion \( f(x) = 6x^4 - 8x^3 - 24x^2 \) zu finden, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion bestimmen und die Bedingungen für einen Wendepunkt überprüfen.

1. **Erste Ableitung** \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^4 - 8x^3 - 24x^2) = 24x^3 - 24x^2 - 48x
\]

2. **Zweite Ableitung** \( f''(x) \):
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(24x^3 - 24x^2 - 48x) = 72x^2 - 48x - 48
\]

3. **Wendepunkte finden**:
Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich null:
\[
72x^2 - 48x - 48 = 0
\]
Diese Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gelöst werden:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \cdot 72 \cdot (-48)}}{2 \cdot 72}
\]
\[
= \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 13824}}{144} = \frac{48 \pm \sqrt{16128}}{144}
\]
\[
= \frac{48 \pm 126.9}{144}
\]
Dies ergibt zwei Lösungen:
\[
x_1 \approx \frac{174.9}{144} \approx 1.215 \quad \text{und} \quad x_2 \approx \frac{-78.9}{144} \approx -0.549
\]

4. **Wendepunkte berechnen**:
Setze \( x_1 \) und \( x_2 \) in die Funktion \( f(x) \) ein, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu finden:
\[
f(1.215) \quad \text{und} \quad f(-0.549)
\]

5. **Wendetangente**:
Die Wendetangente an einem Wendepunkt hat die Steigung, die durch die erste Ableitung an diesem Punkt gegeben ist. Berechne \( f'(1.215) \) und \( f'(-0.549) \) für die Steigungen der Wendetangenten.

Zusammenfassend erhältst du die Wendepunkte und die dazugehörigen Wendetangenten, indem du die oben genannten Schritte ausführst.