2 Fragen zu Differentialrechnung

Um den Wendepunkt und die dazugehörige Wendetangente der Funktion \( f(x) = 6x^4 - 8x^3 - 24x^2 \) zu finden, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion bestimmen und die Bedingungen für einen Wendepunkt überprüfen. 1. **Erste Ableitung** \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^4 - 8x^3 - 24x^2) = 24x^3 - 24x^2 - 48x \] 2. **Zweite Ableitung** \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(24x^3 - 24x^2 - 48x) = 72x^2 - 48x - 48 \] 3. **Wendepunkte finden**: Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich null: \[ 72x^2 - 48x - 48 = 0 \] Diese Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \cdot 72 \cdot (-48)}}{2 \cdot 72} \] \[ = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 13824}}{144} = \frac{48 \pm \sqrt{16128}}{144} \] \[ = \frac{48 \pm 126.9}{144} \] Dies ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 \approx \frac{174.9}{144} \approx 1.215 \quad \text{und} \quad x_2 \approx \frac{-78.9}{144} \approx -0.549 \] 4. **Wendepunkte berechnen**: Setze \( x_1 \) und \( x_2 \) in die Funktion \( f(x) \) ein, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu finden: \[ f(1.215) \quad \text{und} \quad f(-0.549) \] 5. **Wendetangente**: Die Wendetangente an einem Wendepunkt hat die Steigung, die durch die erste Ableitung an diesem Punkt gegeben ist. Berechne \( f'(1.215) \) und \( f'(-0.549) \) für die Steigungen der Wendetangenten. Zusammenfassend erhältst du die Wendepunkte und die dazugehörigen Wendetangenten, indem du die oben genannten Schritte ausführst.

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass für eine Funktion \( f \), die auf einem geschlossenen Intervall \([a, b]\) stetig und auf dem offenen Intervall \((a, b)\) differenzierbar ist, mindestens ein Punkt \( c \) in \((a, b)\) existiert, sodass die folgende Gleichung gilt: \[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Um den Mittelwertsatz für die gegebene \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^2 + 3x + 2 \) anzuwenden, musst du zunächst die Ableitung \( f'(x) \) berechnen und dann die Werte \( f(a) \) und \( f(b) \) für ein gewähltes Intervall \([a, b]\) bestimmen. 1. **Berechnung der Ableitung**: \[ f'(x) = -x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \] 2. **Wähle ein Intervall**: Zum Beispiel \([a, b] = [0, 1]\). 3. **Berechnung von \( f(0) \) und \( f(1) \)**: \[ f(0) = 2 \] \[ f(1) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 3 + 2 = \frac{9}{12} + 3 + 2 = \frac{9}{12} + \frac{36}{12} + \frac{24}{12} = \frac{69}{12} = 5.75 \] 4. **Berechnung des Mittelwerts**: \[ \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = 5.75 - 2 = 3.75 \] 5. **Setze \( f'(c) = 3.75 \)** und löse die Gleichung: \[ -c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 3.75 \] \[ -c^2 + \frac{1}{2}c - 0.75 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden, um den Wert von \( c \) zu finden, der den Mittelwertsatz erfüllt.