Was ist die Stirlingformel?

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Was ist die Stirlingformel?

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Verwandte Fragen

Wie ist das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) ((−1)^k)* (2^k)/(k!)?

Accepted Answer

Die Stirling-Formel ist eine mathematische Approximation für die Fakultät einer großen Zahl \( n \). Sie lautet: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \] Hierbei ist \( e \) die Eulersche Zahl (ungefähr 2,71828) und \( \pi \) die Kreiszahl (ungefähr 3,14159). Die Formel wird häufig in der Kombinatorik und der Statistik verwendet, um Berechnungen mit großen Fakultäten zu vereinfachen. Sie zeigt, dass die Fakultät von \( n \) exponentiell wächst und gibt eine gute Näherung für große Werte von \( n \).

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die R... [mehr]

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}. \] Diese Reihe ist die Taylorreihe für die Exponentialfunktion \(e^x\) bei \(x = 2\): \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2. \] Da die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}\) konvergiert (sie ist eine konvergente Exponentialreihe), folgt, dass die ursprüngliche Reihe absolut konvergent ist. Da die Reihe sowohl konvergent als auch absolut konvergent ist, ist die Antwort: **Absolut konvergent.**