Der Unterschied zwischen analytischer und numerischer Approximation liegt in der Art und Weise, wie eine Lösung für ein mathematisches Problem gefunden wird: **Analytische Approximation:** - Hierbei wird versucht, eine exakte oder zumindest geschlossene Formel für die Lösung zu finden, die das Problem möglichst genau beschreibt. - Die Lösung ist meist eine Funktion oder ein Ausdruck, der mit bekannten mathematischen Operationen (wie Potenzen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, etc.) dargestellt werden kann. - Analytische Approximationen werden oft verwendet, wenn eine exakte Lösung zu kompliziert oder nicht möglich ist, aber eine Näherung durch eine vereinfachte Formel machbar ist (z.B. Taylorreihen, Fourier-Reihen). **Numerische Approximation:** - Hierbei wird die Lösung nicht als Formel, sondern als Zahlenwert oder Zahlenreihe für bestimmte Eingabewerte berechnet. - Es werden Algorithmen verwendet, die Schritt für Schritt eine Näherungslösung liefern (z.B. Iterationsverfahren, numerische Integration, Finite-Differenzen-Methoden). - Numerische Methoden sind besonders nützlich, wenn keine analytische Lösung existiert oder diese zu aufwendig zu berechnen wäre. **Zusammengefasst:** - Analytisch = Näherung durch Formeln/Funktionen. - Numerisch = Näherung durch Zahlenwerte/Algorithmen. Beispiel: Die Lösung einer Differentialgleichung kann analytisch durch eine Funktion (z.B. \( y(x) = e^x \)) oder numerisch durch eine Wertetabelle für bestimmte \( x \)-Werte erfolgen.