Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen genau einmal eine Primzahl zu würfeln?

Question

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen genau einmal eine Primzahl zu würfeln?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Ein Würfel hat die Zahlen 1 bis 6. Die Primzahlen in diesem Bereich sind 2, 3 und 5. Es gibt also 3 Primzahlen und 3 Nicht-Primzahlen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln, beträgt: \[ P(\text{Primzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Die Wahrscheinlichkeit, keine Primzahl zu würfeln, beträgt: \[ P(\text{keine Primzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Wenn der Würfel zweimal geworfen wird, gibt es zwei Szenarien, in denen genau einmal eine Primzahl geworfen wird: 1. Primzahl beim ersten Wurf und keine Primzahl beim zweiten Wurf. 2. Keine Primzahl beim ersten Wurf und Primzahl beim zweiten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für das erste Szenario ist: \[ P(\text{Primzahl, dann keine Primzahl}) = P(\text{Primzahl}) \times P(\text{keine Primzahl}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Die Wahrscheinlichkeit für das zweite Szenario ist: \[ P(\text{keine Primzahl, dann Primzahl}) = P(\text{keine Primzahl}) \times P(\text{Primzahl}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Die Gesamtwahrscheinlichkeit, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Szenarien: \[ P(\text{genau einmal eine Primzahl}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] Die Wahrscheinlichkeit, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, beträgt also \( \frac{1}{2} \) oder 50%.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.