Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen genau einmal eine Primzahl zu würfeln?

Question

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen genau einmal eine Primzahl zu würfeln?

Antwort

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Welche Augenzahl wird mit 2 Würfeln am häufigsten geworfen?

Wie wahrscheinlich ist es, nur unterschiedliche Augenzahlen beim Würfeln zu bekommen?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für genau 3 gleiche Zahlen beim Wurf von 5 Würfeln im Würfelbecher?

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B gilt, wenn W(A) = 2% und W(B) = 3%?

Warum ist bei zwei Würfeln die 7 die häufigste Augensumme und nicht die 8?

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Welche ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen dargestellt werden kann?

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Wie unterscheide ich Wahrscheinlichkeiten, relative Häufigkeiten und absolute Häufigkeiten?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei drei Würfen mit einem Würfel nur verschiedene Augenzahlen zu erhalten?

Accepted Answer

Ein Würfel hat die Zahlen 1 bis 6. Die Primzahlen in diesem Bereich sind 2, 3 und 5. Es gibt also 3 Primzahlen und 3 Nicht-Primzahlen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln, beträgt: \[ P(\text{Primzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Die Wahrscheinlichkeit, keine Primzahl zu würfeln, beträgt: \[ P(\text{keine Primzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Wenn der Würfel zweimal geworfen wird, gibt es zwei Szenarien, in denen genau einmal eine Primzahl geworfen wird: 1. Primzahl beim ersten Wurf und keine Primzahl beim zweiten Wurf. 2. Keine Primzahl beim ersten Wurf und Primzahl beim zweiten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für das erste Szenario ist: \[ P(\text{Primzahl, dann keine Primzahl}) = P(\text{Primzahl}) \times P(\text{keine Primzahl}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Die Wahrscheinlichkeit für das zweite Szenario ist: \[ P(\text{keine Primzahl, dann Primzahl}) = P(\text{keine Primzahl}) \times P(\text{Primzahl}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Die Gesamtwahrscheinlichkeit, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Szenarien: \[ P(\text{genau einmal eine Primzahl}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] Die Wahrscheinlichkeit, genau einmal eine Primzahl zu würfeln, beträgt also \( \frac{1}{2} \) oder 50%.

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Die statistisch am häufigsten gewürfelte Augenzahl mit 2 Würfeln ist die **7**. Das liegt daran, dass es mehr Kombinationen gibt, mit denen die Summe 7 erreicht werden kann als bei jed... [mehr]

Accepted Answer

Die statistisch am häufigsten gewürfelte Augenzahl mit 2 Würfeln ist die **7**. Das liegt daran, dass es mehr Kombinationen gibt, mit denen die Summe 7 erreicht werden kann als bei jeder anderen Augenzahl. Die möglichen Kombinationen für eine 7 sind: - 1 + 6 - 2 + 5 - 3 + 4 - 4 + 3 - 5 + 2 - 6 + 1 Das sind insgesamt 6 von 36 möglichen Kombinationen. Keine andere Augenzahl hat so viele Möglichkeiten.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man beim Würfeln nur verschiedene Augenzahlen erhält, muss zunächst klar sein, **wie viele Würfel** geworfen werden. Da das in deiner F... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man beim Würfeln nur verschiedene Augenzahlen erhält, muss zunächst klar sein, **wie viele Würfel** geworfen werden. Da das in deiner Frage nicht angegeben ist, wird meist angenommen, dass mit **sechs Würfeln** geworfen wird (weil ein Würfel sechs Seiten hat). Ich erkläre den Fall für sechs Würfel: **Frage:** Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim gleichzeitigen Wurf von sechs Würfeln jede Augenzahl (1 bis 6) genau einmal vorkommt? --- ### Schritt 1: Gesamtzahl aller Möglichkeiten Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \( 6^6 = 46.656 \) verschiedene Möglichkeiten, sechs Würfel zu werfen. --- ### Schritt 2: Günstige Fälle (jede Augenzahl genau einmal) Wir suchen die Anzahl der Möglichkeiten, wie jede Augenzahl genau einmal vorkommt. Das entspricht der Anzahl der Permutationen der sechs Zahlen: \( 6! = 720 \) --- ### Schritt 3: Wahrscheinlichkeit berechnen Die Wahrscheinlichkeit ist also: \[ P = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46.656} \approx 0,0154 \] Das entspricht etwa **1,54 %**. --- **Zusatz:** Wenn du eine andere Anzahl von Würfeln meinst, gib bitte die genaue Zahl an. Dann kann die Wahrscheinlichkeit entsprechend berechnet werden.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, versch... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden), geht man wie folgt vor: **1. Schritt: Auswahl der Zahl, die dreimal vorkommt** Es gibt 6 mögliche Zahlen (1 bis 6). **2. Schritt: Auswahl der Würfel, die diese Zahl zeigen** Es gibt \(\binom{5}{3} = 10\) Möglichkeiten, 3 Würfel aus 5 auszuwählen. **3. Schritt: Die beiden übrigen Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden** - Es bleiben 5 Zahlen übrig (da eine Zahl schon dreimal vorkommt). - Die beiden Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) Möglichkeiten, zwei verschiedene Zahlen aus 5 auszuwählen. - Die beiden Würfel sind unterscheidbar (z.B. Würfel 4 und 5), daher gibt es für jede Auswahl 2! = 2 Anordnungen. **Gesamtzahl der günstigen Fälle:** \(6 \times 10 \times 10 \times 2 = 1200\) **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Jeder Würfel hat 6 Möglichkeiten, also \(6^5 = 7776\). **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{1200}{7776} = \frac{25}{162} \approx 0{,}1543 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Zahl zeigen** (und die anderen beiden verschiedene, andere Zahlen), beträgt \(\frac{25}{162}\) bzw. etwa **15,43 %**.

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Um die Wahrscheinlichkeit \( W(A \cap B) \) zu berechnen, also dass sowohl A als auch B eintreten, benötigst du Informationen darüber, ob die Ereignisse A und B unabhängig sind. **Fall... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit \( W(A \cap B) \) zu berechnen, also dass sowohl A als auch B eintreten, benötigst du Informationen darüber, ob die Ereignisse A und B unabhängig sind. **Falls A und B unabhängig sind:** Dann gilt: \[ W(A \cap B) = W(A) \cdot W(B) \] Mit den Werten: \[ W(A) = 0{,}02 \quad \text{und} \quad W(B) = 0{,}03 \] Also: \[ W(A \cap B) = 0{,}02 \times 0{,}03 = 0{,}0006 = 0{,}06\% \] **Falls A und B nicht unabhängig sind:** Dann benötigst du zusätzliche Informationen, z.B. die bedingte Wahrscheinlichkeit \( W(A|B) \) oder \( W(B|A) \). **Fazit:** Unter der Annahme, dass A und B unabhängig sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten, **0,06 %**.

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Die 7 ist tatsächlich die am häufigsten gewürfelte Augensumme zwei Würf. Das liegt daran, dass es mehr Kombinationen gibt, mit denen man eine 7 würfeln kann, als für jede... [mehr]

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Die 7 ist tatsächlich die am häufigsten gewürfelte Augensumme zwei Würf. Das liegt daran, dass es mehr Kombinationen gibt, mit denen man eine 7 würfeln kann, als für jede andere Summe. Hier die möglichen Kombinationen für die 7: - 1 + 6 - 2 + 5 - 3 + 4 - 4 + 3 - 5 + 2 - 6 + 1 Das sind **6 verschiedene Kombinationen**. Für die 8 sieht es so aus: - 2 + 6 - 3 + 5 - 4 + 4 - 5 + 3 - 6 + 2 Das sind **5 verschiedene Kombinationen**. Dein Fehler liegt bei der Annahme, dass „4 + 4“ doppelt zählt. Das ist nicht der Fall: Die Kombination „4 + 4“ gibt es nur einmal, weil es egal ist, welcher Würfel die 4 zeigt – beide zeigen ja die gleiche Zahl. Bei „3 + 5“ und „5 + 3“ hingegen sind es zwei verschiedene Kombinationen, weil die Würfel unterschiedliche Zahlen zeigen. Deshalb ist die 7 mit 6 Möglichkeiten die häufigste Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln.

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Wenn du mit drei normalen sechsseitigen Würfeln würfelst, ist die statistisch am häufigsten gewürfelte Augenzahl die **10** oder die **11**. Beide Summen können auf die meiste... [mehr]

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Wenn du mit drei normalen sechsseitigen Würfeln würfelst, ist die statistisch am häufigsten gewürfelte Augenzahl die **10** oder die **11**. Beide Summen können auf die meisten Arten geworfen werden (jeweils 27 Möglichkeiten von insgesamt 216 möglichen Kombinationen). Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, eine 10 oder eine 11 zu würfeln, ist am höchsten, wenn du drei Würfel gleichzeitig wirfst.

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Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). D... [mehr]

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Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). Deren Quadrate sind: \[ (n-1)^2, \quad n^2, \quad (n+1)^2 \] Die Summe ist: \[ (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) \] \[ = n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 \] \[ = 3n^2 + 2 \] Nun suchen wir die kleinste Primzahl, die sich als \( 3n^2 + 2 \) schreiben lässt. Setze n = 1: \[ 3 \cdot 1^2 + 2 = 3 + 2 = 5 \quad \text{(Primzahl)} \] Setze n = 2: \[ 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \quad \text{(keine Primzahl)} \] Setze n = 3: \[ 3 \cdot 9 + 2 = 27 + 2 = 29 \quad \text{(Primzahl)} \] Die kleinste ist also **5**. **Antwort:** Die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann, ist **5**.

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Das Wort „stochastisch“ bezieht sich auf Zufall oder Wahrscheinlichkeiten. In der Mathematik und Statistik beschreibt „stochastisch“ Prozesse, Modelle oder Methoden, bei denen... [mehr]

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Das Wort „stochastisch“ bezieht sich auf Zufall oder Wahrscheinlichkeiten. In der Mathematik und Statistik beschreibt „stochastisch“ Prozesse, Modelle oder Methoden, bei denen Zufall eine Rolle spielt. Ein stochastischer Prozess ist zum Beispiel eine Folge von Zufallsereignissen, wie etwa das Werfen einer Münze oder die Entwicklung von Aktienkursen. Typische Anwendungsgebiete stochastischer Methoden sind: - Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung - Finanzmathematik (z. B. Modellierung von Börsenkursen) - Physik (z. B. Brownsche Bewegung) - Informatik (z. B. Algorithmen, die Zufall nutzen) Das Gegenteil von stochastisch ist „deterministisch“, also vollständig vorhersehbar und ohne Zufallseinfluss.

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Wahrscheinlichkeiten, relative Häufigkeiten und absolute Häufigkeiten sind drei verschiedene Begriffe aus der Statistik, die oft miteinander verwechselt werden. Hier die Unterschiede: **1.... [mehr]

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Wahrscheinlichkeiten, relative Häufigkeiten und absolute Häufigkeiten sind drei verschiedene Begriffe aus der Statistik, die oft miteinander verwechselt werden. Hier die Unterschiede: **1. Absolute Häufigkeit:** Das ist die Anzahl, wie oft ein bestimmtes Ereignis in einer Stichprobe oder einem Experiment beobachtet wurde. **Beispiel:** In einer Umfrage antworten 30 von 100 Personen mit "Ja". Die absolute Häufigkeit für "Ja" ist 30. **2. Relative Häufigkeit:** Das ist der Anteil eines Ereignisses an der Gesamtzahl der Beobachtungen. Sie wird berechnet, indem man die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Beobachtungen teilt. **Formel:** Relative Häufigkeit = Absolute Häufigkeit / Gesamtzahl **Beispiel:** 30 "Ja"-Antworten von 100 Befragten → 30/100 = 0,3 oder 30%. **3. Wahrscheinlichkeit:** Das ist ein theoretischer Wert, der angibt, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Ereignisses ist. Sie wird meist als Zahl zwischen 0 und 1 angegeben. Wahrscheinlichkeiten werden oft auf Basis von Annahmen, Modellen oder bekannten Verteilungen berechnet, nicht direkt gemessen. **Beispiel:** Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit, eine "6" zu werfen, 1/6 ≈ 0,167. **Zusammengefasst:** - **Absolute Häufigkeit:** Wie oft ist etwas passiert? (z.B. 30-mal) - **Relative Häufigkeit:** Wie groß ist der Anteil? (z.B. 30%) - **Wahrscheinlichkeit:** Wie wahrscheinlich ist das Ereignis theoretisch? (z.B. 16,7%) **Wichtiger Unterschied:** Relative Häufigkeiten können als Schätzung für Wahrscheinlichkeiten dienen, wenn viele Versuche durchgeführt wurden (Gesetz der großen Zahlen). Wahrscheinlichkeiten sind aber theoretische Werte, während Häufigkeiten auf tatsächlichen Beobachtungen beruhen.

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **L&o... [mehr]

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **Lösungsschritte:** 1. **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Bei jedem Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) mögliche Ergebnisse. 2. **Günstige Fälle (alle Augenzahlen verschieden):** - Beim ersten Wurf: 6 Möglichkeiten (alle Zahlen sind möglich) - Beim zweiten Wurf: 5 Möglichkeiten (alle außer die vom ersten Wurf) - Beim dritten Wurf: 4 Möglichkeiten (alle außer die ersten beiden) Also: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) günstige Fälle. 3. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen mit einem normalen Würfel alle Augenzahlen verschieden sind, beträgt **\(\frac{5}{9}\)** (ca. 55,56 %).