Wie lautet die Volumen- und Oberflächenformel einer Halbkugel, aus der ein zylinderförmiger Hohlraum herausgefräst ist?

Um das Volumen und die Oberfläche eines Rotationskörpers zu berechnen, der aus einer Halbkugel besteht, aus der ein Zylinder ohne Grundfläche herausgefräst wurde, sind folgende Schritte notwendig:

1. **Volumen der Halbkugel:**
Die Volumenformel für eine Halbkugel mit Radius \( r \) lautet:
\[
V_{\text{Halbkugel}} = \frac{2}{3} \pi r^3
\]

2. **Volumen des Zylinders:**
Der Zylinder hat denselben Radius \( r \) und eine Höhe \( h \), die gleich dem Radius der Halbkugel ist (da der Zylinder ohne Grundfläche herausgefräst wird und die Höhe des Zylinders der Höhe der Halbkugel entspricht). Die Volumenformel für den Zylinder lautet:
\[
V_{\text{Zylinder}} = \pi r^2 h = \pi r^3
\]

3. **Volumen des resultierenden Körpers:**
Das Volumen des resultierenden Körpers ist das Volumen der Halbkugel minus das Volumen des Zylinders:
\[
V_{\text{Resultierender Körper}} = V_{\text{Halbkugel}} - V_{\text{Zylinder}} = \frac{2}{3} \pi r^3 - \pi r^3 = \left(\frac{2}{3} - 1\right) \pi r^3 = -\frac{1}{3} \pi r^3
\]
Da das Volumen nicht negativ sein kann, ist dies ein Hinweis darauf, dass der Zylinder das gesamte Volumen der Halbkugel ausfüllt, und somit bleibt kein Volumen übrig.

4. **Oberfläche des resultierenden Körpers:**
Die Oberfläche des resultierenden Körpers besteht aus der Oberfläche der Halbkugel minus der Grundfläche des Zylinders plus der Mantelfläche des Zylinders.

- Oberfläche der Halbkugel:
\[
A_{\text{Halbkugel}} = 2 \pi r^2
\]

- Grundfläche des Zylinders (die entfernt wird):
\[
A_{\text{Grundfläche}} = \pi r^2
\]

- Mantelfläche des Zylinders:
\[
A_{\text{Mantelfläche}} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2
\]

Die resultierende Oberfläche ist:
\[
A_{\text{Resultierende Oberfläche}} = A_{\text{Halbkugel}} - A_{\text{Grundfläche}} + A_{\text{Mantelfläche}} = 2 \pi r^2 - \pi r^2 + 2 \pi r^2 = 3 \pi r^2
\]

Zusammengefasst:

- **Volumen des resultierenden Körpers:** \( 0 \) (da der Zylinder das gesamte Volumen der Halbkugel ausfüllt)
- **Oberfläche des resultierenden Körpers:** \( 3 \pi r^2 \)