Untersuche, ob aus vier natürlichen Zahlen stets drei ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Um zu untersuchen, ob aus vier natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, betrachten wir die möglichen Reste der Zahlen modulo 3. Jede natürliche Zahl kann den Rest 0, 1 oder 2 haben, wenn sie durch 3 geteilt wird. Es gibt insgesamt drei mögliche Reste: - Rest 0 (nennen wir diese Zahlen \(a\)) - Rest 1 (nennen wir diese Zahlen \(b\)) - Rest 2 (nennen wir diese Zahlen \(c\)) Wenn wir vier natürliche Zahlen haben, können wir die Anzahl der Zahlen in jeder Kategorie (Rest 0, Rest 1, Rest 2) zählen. Es gibt einige Fälle, die wir betrachten müssen: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen mit dem gleichen Rest. - Wenn es drei Zahlen mit Rest 0 gibt, ist ihre Summe durch 3 teilbar. - Wenn es drei Zahlen mit Rest 1 gibt, ist ihre Summe ebenfalls durch 3 teilbar. - Das gleiche gilt für drei Zahlen mit Rest 2. 2. **Fall 2:** Es gibt zwei Zahlen mit Rest 0 und zwei Zahlen mit Rest 1. - Hier können wir zwei Zahlen mit Rest 0 und eine Zahl mit Rest 1 wählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. 3. **Fall 3:** Es gibt zwei Zahlen mit Rest 0 und zwei Zahlen mit Rest 2. - Hier können wir zwei Zahlen mit Rest 0 und eine Zahl mit Rest 2 wählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. 4. **Fall 4:** Es gibt zwei Zahlen mit Rest 1 und zwei Zahlen mit Rest 2. - Hier können wir zwei Zahlen mit Rest 1 und eine Zahl mit Rest 2 wählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. 5. **Fall 5:** Es gibt eine Zahl mit Rest 0, eine mit Rest 1 und eine mit Rest 2. - In diesem Fall können wir alle drei Zahlen auswählen, und ihre Summe ist ebenfalls durch 3 teilbar. Da in jedem dieser Fälle immer eine Auswahl von drei Zahlen möglich ist, deren Summe durch 3 teilbar ist, lässt sich die Aussage bestätigen: Aus vier natürlichen Zahlen lassen sich stets drei Zahlen auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.