Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten... [mehr]
Wo sind Tangenten an f(x)=x^1,5 parallel zu y=3x+4?
AntwortUm die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen von \( f(x) = x^{1,5} \) parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, musst du die Ableitung von \( f(x) \) bestimmen und diese gleich der Steigung der Geraden setzen. 1. **Bestimme die Ableitung von \( f(x) \)**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1,5}) = 1,5x^{0,5} = \frac{1,5}{\sqrt{x}} \] 2. **Setze die Ableitung gleich der Steigung der Geraden**: Die Steigung der Geraden \( y = 3x + 4 \) ist 3. Also setzen wir die Ableitung gleich 3: \[ \frac{1,5}{\sqrt{x}} = 3 \] 3. **Löse die Gleichung nach \( x \) auf**: \[ 1,5 = 3\sqrt{x} \] \[ \sqrt{x} = \frac{1,5}{3} = 0,5 \] \[ x = (0,5)^2 = 0,25 \] 4. **Bestimme den Funktionswert \( f(0,25) \)**: \[ f(0,25) = (0,25)^{1,5} = \sqrt{0,25^3} = \sqrt{0,015625} = 0,125 \] Der Punkt, an dem die Tangente parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, ist also \( (0,25, 0,125) \).
