Zeige, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets drei auswählen lassen, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als Schubfachprinzip). Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt: - Klasse 0: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 haben. - Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben. - Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben. Wenn wir fünf natürliche Zahlen haben, können wir diese in die drei Klassen einordnen. Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei dieser fünf Zahlen in einer der Klassen liegen, da es nur drei Klassen gibt. Es gibt nun zwei Fälle zu betrachten: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen in einer der Klassen (z.B. Klasse 0). In diesem Fall ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar, da die Summe von Zahlen, die alle den gleichen Rest 0 haben, ebenfalls den Rest 0 hat. 2. **Fall 2:** Es gibt in jeder der Klassen 0, 1 und 2 mindestens eine Zahl, und in einer der Klassen (z.B. Klasse 1) gibt es zwei Zahlen. In diesem Fall können wir eine Zahl aus Klasse 0 und zwei Zahlen aus Klasse 1 auswählen. Die Summe dieser drei Zahlen ist ebenfalls durch 3 teilbar, da die Summe der Reste 0 (aus Klasse 0) und 1 + 1 (aus Klasse 1) = 2 ist, und wir können auch zwei Zahlen aus Klasse 2 wählen, um die Summe zu bilden. In beiden Fällen haben wir gezeigt, dass es immer möglich ist, drei Zahlen auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Daher ist die Aussage bewiesen.