Zeige, dass sich aus 5 natürlichen Zahlen stets 3 auswählen lassen, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als das Schubfachprinzip). Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt: - Klasse 0: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 haben. - Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben. - Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben. Wenn wir fünf natürliche Zahlen haben, können wir diese in die drei Klassen einordnen. Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei dieser fünf Zahlen in einer der Klassen sein, da es nur drei Klassen gibt. Es gibt nun verschiedene Fälle, die wir betrachten können: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen in einer Klasse (z.B. Klasse 0). Die Summe dieser drei Zahlen ist durch 3 teilbar. 2. **Fall 2:** Es gibt zwei Zahlen in einer Klasse (z.B. Klasse 0) und mindestens eine Zahl in einer anderen Klasse (z.B. Klasse 1 oder 2). In diesem Fall können wir eine Zahl aus der Klasse 1 oder 2 auswählen und zusammen mit den beiden Zahlen aus Klasse 0 eine Summe bilden. Die Summe wird durch 3 teilbar sein, wenn die gewählte Zahl den Rest 0 ergibt, oder wir können zwei Zahlen aus Klasse 1 und eine aus Klasse 2 (oder umgekehrt) wählen, um eine Summe zu bilden, die ebenfalls durch 3 teilbar ist. 3. **Fall 3:** Es gibt jeweils zwei Zahlen in zwei Klassen und eine Zahl in der dritten Klasse. In diesem Fall können wir zwei Zahlen aus einer der Klassen und eine aus der anderen wählen, um eine Summe zu bilden, die durch 3 teilbar ist. In allen Fällen ist es also möglich, drei Zahlen auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Daher ist die Aussage bewiesen.