Untersuche, ob sich aus vier natürlichen Zahlen stets drei Zahlen auswählen lassen, deren Summe durch drei teilbar ist.

Um zu untersuchen, ob aus vier natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch drei teilbar ist, betrachten wir die möglichen Reste der Zahlen modulo 3. Jede natürliche Zahl kann den Rest 0, 1 oder 2 haben, wenn sie durch 3 geteilt wird. Sei \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) die vier natürlichen Zahlen. Wir betrachten die Reste dieser Zahlen modulo 3: - Es gibt maximal drei verschiedene Reste: 0, 1 und 2. - Wenn wir vier Zahlen haben, müssen mindestens zwei dieser Zahlen denselben Rest haben (nach dem Schubfachprinzip). Es gibt mehrere Fälle zu betrachten: 1. **Fall 1:** Alle vier Zahlen haben den gleichen Rest (z.B. alle 0, alle 1 oder alle 2). In diesem Fall ist die Summe jeder Auswahl von drei Zahlen ebenfalls durch 3 teilbar. 2. **Fall 2:** Es gibt zwei Zahlen mit Rest 0 und zwei mit Rest 1. Hier können wir zwei Zahlen mit Rest 0 und eine mit Rest 1 auswählen, deren Summe \( 0 + 0 + 1 = 1 \) (nicht durch 3 teilbar) oder zwei mit Rest 1 und eine mit Rest 0, deren Summe \( 1 + 1 + 0 = 2 \) (nicht durch 3 teilbar). In diesem Fall können wir keine drei Zahlen finden, deren Summe durch 3 teilbar ist. 3. **Fall 3:** Es gibt zwei Zahlen mit Rest 0 und zwei mit Rest 2. Hier können wir zwei Zahlen mit Rest 0 und eine mit Rest 2 auswählen, deren Summe \( 0 + 0 + 2 = 2 \) (nicht durch 3 teilbar) oder zwei mit Rest 2 und eine mit Rest 0, deren Summe \( 2 + 2 + 0 = 4 \) (nicht durch 3 teilbar). Auch hier können wir keine drei Zahlen finden, deren Summe durch 3 teilbar ist. 4. **Fall 4:** Es gibt eine Zahl mit Rest 0, eine mit Rest 1 und zwei mit Rest 2. Hier können wir die Zahl mit Rest 0 und zwei mit Rest 2 auswählen, deren Summe \( 0 + 2 + 2 = 4 \) (nicht durch 3 teilbar). Auch hier ist es nicht möglich, eine Summe zu bilden, die durch 3 teilbar ist. 5. **Fall 5:** Es gibt eine Zahl mit Rest 0, zwei mit Rest 1 und eine mit Rest 2. Hier können wir die beiden Zahlen mit Rest 1 und die Zahl mit Rest 0 auswählen, deren Summe \( 1 + 1 + 0 = 2 \) (nicht durch 3 teilbar). Auch hier ist es nicht möglich, eine Summe zu bilden, die durch 3 teilbar ist. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es nicht immer möglich ist, aus vier natürlichen Zahlen drei auszuwählen, deren Summe durch drei teilbar ist. Es hängt von den spezifischen Werten und deren Resten modulo 3 ab.