Bestimme eine Stammfunktion zu f(x) = 1/(x(x−a)). Finde A, B ∈ R, sodass (A/x) + (B/(x−a)) = 1/(x(x−a)) gilt.

Um eine Stammfunktion zu \( f(x) = \frac{1}{x(x-a)} \) zu finden, ist es sinnvoll, die Funktion in Partialbrüche zu zerlegen. Wir suchen also \( A \) und \( B \) so, dass: \[ \frac{1}{x(x-a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-a} \] Um die Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten mit \( x(x-a) \): \[ 1 = A(x-a) + Bx \] Das führt zu: \[ 1 = Ax - Aa + Bx \] Nun fassen wir die Terme zusammen: \[ 1 = (A + B)x - Aa \] Um die Gleichung für alle \( x \) zu erfüllen, müssen die Koeffizienten der entsprechenden Terme gleich sein. Das bedeutet: 1. \( A + B = 0 \) (Koeffizient von \( x \)) 2. \( -Aa = 1 \) (konstante Terme) Aus der ersten Gleichung folgt \( B = -A \). Setzen wir dies in die zweite Gleichung ein: \[ -Aa = 1 \implies A = -\frac{1}{a} \] Daraus ergibt sich: \[ B = -A = \frac{1}{a} \] Somit haben wir: \[ \frac{1}{x(x-a)} = -\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{x-a} \] Jetzt können wir die Funktion integrieren: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( -\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{x-a} \right) dx \] Die Integrale sind bekannt: \[ = -\frac{1}{a} \ln |x| + \frac{1}{a} \ln |x-a| + C \] Das ergibt die Stammfunktion: \[ F(x) = \frac{1}{a} \ln \left| \frac{x-a}{x} \right| + C \] Hierbei ist \( C \) eine Konstante.