Wie berechnet man den Schnittpunkt von Ebenen?

Um den Schnittpunkt von zwei Ebenen zu berechnen, kannst du das Gleichungssystem der beiden Ebenen lösen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Ebenengleichungen aufstellen**: Angenommen, du hast zwei Ebenen in der Form:
\[
E_1: a_1x + b_1y + c_1z = d_1
\]
\[
E_2: a_2x + b_2y + c_2z = d_2
\]

2. **Gleichungssystem lösen**: Du musst das Gleichungssystem der beiden Ebenen lösen. Dies kann durch verschiedene Methoden geschehen, wie z.B. das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gaußsche Eliminationsverfahren.

3. **Parameterform finden**: Da der Schnittpunkt zweier Ebenen in der Regel eine Gerade ist, kannst du eine der Variablen als Parameter \( t \) setzen und die anderen beiden Variablen in Abhängigkeit von \( t \) ausdrücken.

Zum Beispiel:
\[
z = t
\]
Setze \( z = t \) in beide Ebenengleichungen ein:
\[
a_1x + b_1y + c_1t = d_1
\]
\[
a_2x + b_2y + c_2t = d_2
\]

4. **Lösen für \( x \) und \( y \)**: Löse das resultierende lineare Gleichungssystem für \( x \) und \( y \) in Abhängigkeit von \( t \).

5. **Geradengleichung aufstellen**: Die Lösung wird in der Form einer Geradengleichung sein:
\[
x = x_0 + x_1t
\]
\[
y = y_0 + y_1t
\]
\[
z = t
\]

Hier sind \( x_0, y_0 \) und \( z_0 \) die Koordinaten eines Punktes auf der Schnittgeraden und \( x_1, y_1 \) und \( z_1 \) die Richtungsvektoren der Geraden.

**Beispiel**:

Gegeben seien die Ebenen:
\[
E_1: 2x - y + z = 3
\]
\[
E_2: x + y - z = 1
\]

Setze \( z = t \):
\[
2x - y + t = 3
\]
\[
x + y - t = 1
\]

Löse das Gleichungssystem:
\[
2x - y + t = 3 \quad (1)
\]
\[
x + y - t = 1 \quad (2)
\]

Addiere (1) und (2):
\[
(2x - y + t) + (x + y - t) = 3 + 1
\]
\[
3x = 4
\]
\[
x = \frac4}{3}
\]

Setze \( x = \frac{4}{3} \) in (2) ein:
\[
\frac{4}{3} + y - t = 1
\]
\[
y = 1 - \frac{4}{3} + t
\]
\[
y = -frac{1}{3} + t
\]

Die Schnittgerade ist:
\[
x = \frac{4}{3}
\]
\[
y = -\frac{1}{3} + t
\]
\[
z = t
\]

Die Parametergleichung der Schnittgeraden lautet:
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{4}{3} \\
-\frac{1}{3} \\
0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
\]

Das ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.