Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Wie erhält man die Scheitelpunktsform?
Antwort vomUm die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu erhalten, kann man die Methode der quadratischen Ergänzung verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Ausgangsform**: Beginne mit der allgemeinen Form der quadratischen Funktion: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] 2. **Faktor a ausklammern**: Wenn \( a \neq 1 \), klammere \( a \) aus den ersten beiden Termen aus: \[ f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \] 3. **Quadratische Ergänzung**: Füge und subtrahiere den quadratischen Ergänzungsterm innerhalb der Klammer. Der Ergänzungsterm ist \( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \): \[ f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \] \[ f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \] 4. **Umformen**: Schreibe den Ausdruck in der Klammer als ein Quadrat: \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \] 5. **Vereinfachen**: Fasse die konstanten Terme zusammen: \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \] \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \] Die Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion ist somit: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] wobei der Scheitelpunkt \( (h, k) \) ist: \[ h = -\frac{b}{2a} \] \[ k = c - \frac{b^2}{4a} \] Diese Form zeigt direkt den Scheitelpunkt der Parabel, was nützlich für die Analyse und das Zeichnen der Funktion ist.
Verwandte Fragen
Wie berechnet man die Ableitung von f(x) = 2,5 · (1 - e^(0,1x))?
Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Fläche unter f(x)=sin(x)+2 im Intervall von -π bis 1 berechnen
Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(x)=\sin(x)+2\), der \(x\)-Achse und den Grenzen \(x=-\pi\) bis \(x=1\). Da \(f(x)=\sin(x)+2 > 0\), ist die Fläche: \[ A=\int{...
Berechne die Ableitung f'(x) von f(x) = (x-1)^2.
Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
Wie lautet die Umkehrfunktion zu P = A + B·V + C·V^2?
Gesucht ist \(v\) in Abhängigkeit von \(P\): \[ P=A+Bv+Cv^2 \;\;\Longrightarrow\;\; Cv^2+Bv+(A-P)=0 \] Quadratische Lösungsformel: \[ v(P)=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4C(A-P)}}{2C} \quad (C\neq...
Wie rechnet man y = f(x) in x = f(y) um?
Um aus \(y=f(x)\) eine Darstellung \(x=f(y)\) zu machen, löst man die Gleichung nach \(x\) auf und ersetzt danach (falls gewünscht) die Variable \(y\) wieder durch \(x\). Das ist genau das B...
Was bedeutet es, wenn es Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge gibt?
Die Aussage „Es gibt Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge“ bedeutet Folgendes: Du hast zwei Mengen, nennen wir sie \( A \) und \( B \), und beide...
Was ist die Umkehrfunktion von -x?
Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).
Was ist eine Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion (auch Inverse Funktion genannt) ist eine Funktion, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig macht. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf...
Was ist die Heaviside-Funktion von x+5?
Die Hauptwertfunktion (oft als „hr-Funktion“ abgekürzt) eines Ausdrucks wie \( x+5 \) ist einfach die Funktion selbst, da es sich um eine lineare Funktion handelt. Die Funktionsvorsc...
