Die Aussage „Es gibt Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge“ bedeutet Folgendes: - Du hast zwei Mengen, nennen wir sie \( A \) und \( B \), und be...
Wie erhält man die Scheitelpunktsform?
Antwort vomUm die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu erhalten, kann man die Methode der quadratischen Ergänzung verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Ausgangsform**: Beginne mit der allgemeinen Form der quadratischen Funktion: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] 2. **Faktor a ausklammern**: Wenn \( a \neq 1 \), klammere \( a \) aus den ersten beiden Termen aus: \[ f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \] 3. **Quadratische Ergänzung**: Füge und subtrahiere den quadratischen Ergänzungsterm innerhalb der Klammer. Der Ergänzungsterm ist \( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \): \[ f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \] \[ f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \] 4. **Umformen**: Schreibe den Ausdruck in der Klammer als ein Quadrat: \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \] 5. **Vereinfachen**: Fasse die konstanten Terme zusammen: \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \] \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \] Die Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion ist somit: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] wobei der Scheitelpunkt \( (h, k) \) ist: \[ h = -\frac{b}{2a} \] \[ k = c - \frac{b^2}{4a} \] Diese Form zeigt direkt den Scheitelpunkt der Parabel, was nützlich für die Analyse und das Zeichnen der Funktion ist.
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