Um die Aussage zu beweisen, dass die Quersumme aller Quadratzahlen, die größer als 16 sind, immer ungerade ist, kannst du wie folgt vorgehen: 1. **Definition der Quersumme**: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer einzelnen Ziffern. Zum Beispiel ist die Quersumme von 1234 gleich 1 + 2 + 3 + 4 = 10. 2. **Quadratzahlen analysieren**: Betrachte die Quadratzahlen \( n^2 \) für \( n > 4 \) (da \( 4^2 = 16 \)). 3. **Eigenschaften der Quersumme**: Eine Zahl ist ungerade, wenn ihre Quersumme ungerade ist. Das bedeutet, dass die Summe der Ziffern einer Quadratzahl ungerade sein muss. 4. **Parität von Quadratzahlen**: Eine Quadratzahl \( n^2 \) ist entweder gerade oder ungerade, abhängig davon, ob \( n \) gerade oder ungerade ist. 5. **Untersuche die Quersummen**: - Wenn \( n \) gerade ist, dann ist \( n^2 \) gerade. - Wenn \( n \) ungerade ist, dann ist \( n^2 \) ungerade. 6. **Beobachtung der Quersummen**: - Für \( n = 5 \): \( 5^2 = 25 \), Quersumme = 2 + 5 = 7 (ungerade) - Für \( n = 6 \): \( 6^2 = 36 \), Quersumme = 3 + 6 = 9 (ungerade) - Für \( n = 7 \): \( 7^2 = 49 \), Quersumme = 4 + 9 = 13 (ungerade) - Für \( n = 8 \): \( 8^2 = 64 \), Quersumme = 6 + 4 = 10 (gerade) - Für \( n = 9 \): \( 9^2 = 81 \), Quersumme = 8 + 1 = 9 (ungerade) - Für \( n = 10 \): \( 10^2 = 100 \), Quersumme = 1 + 0 + 0 = 1 (ungerade) 7. **Muster erkennen**: Es scheint, dass die Quersumme der Quadratzahlen für \( n > 4 \) meistens ungerade ist, aber es gibt Ausnahmen (z.B. \( 8^2 = 64 \)). 8. **Gegenausnahme finden**: Da \( 8^2 = 64 \) eine gerade Quersumme hat, widerlegt dies die ursprüngliche Aussage. **Schlussfolgerung**: Die Aussage, dass die Quersumme aller Quadratzahlen, die größer als 16 sind, immer ungerade ist, ist falsch. Es gibt Gegenbeispiele wie \( 8^2 = 64 \), dessen Quersumme gerade ist.