Bestimme eine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c, deren Graph die y-Achse im Punkt 0|4 schneidet und durch die Punkte P(5|9) und Q(-1|-3) verläuft.

Question

Bestimme eine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c, deren Graph die y-Achse im Punkt 0|4 schneidet und durch die Punkte P(5|9) und Q(-1|-3) verläuft.

Antwort

Verwandte Fragen

Wie zeichnet man den Graphen einer Funktion, z.B. y= 0,5 (x-1,5)²-2?

Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Wie berechne ich die Nullstelle von ab/(x+b)^2?

Was ist die Diskriminante für ax² + bx + c?

Diskriminante für x^2 + ax + b?

Wie überprüft man schnell die Surjektivität einer Funktion?

Was ist die Ableitung von ax/(x+b)?

Nullstelle von f(x)=(x-1)-ln(x)?

Accepted Answer

Um die quadratische Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen. 1. **Schnittpunkt mit der y-Achse**: Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt \( (0|4) \). Das bedeutet, dass \( c = 4 \). 2. **Punkte P und Q**: Die Funktion verläuft durch die Punkte \( P(5|9) \) und \( Q(-1|-3) \). Das gibt uns zwei Gleichungen: - Für den Punkt \( P(5|9) \): \[ f(5) = a(5^2) + b(5) + 4 = 9 \] \[ 25a + 5b + 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad 25a + 5b = 5 \quad \Rightarrow \quad 5a + b = 1 \quad \text{(Gleichung 1)} \] - Für den Punkt \( Q(-1|-3) \): \[ f(-1) = a(-1^2) + b(-1) + 4 = -3 \] \[ a - b + 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad a - b = -7 \quad \text{(Gleichung 2)} \] 3. **Lösen des Gleichungssystems**: Wir haben nun zwei Gleichungen: - \( 5a + b = 1 \) (Gleichung 1) - \( a - b = -7 \) (Gleichung 2) Wir können Gleichung 2 nach \( b \) umstellen: \[ b = a + 7 \] Setze \( b \) in Gleichung 1 ein: \[ 5a + (a + 7) = 1 \] \[ 6a + 7 = 1 \quad \Rightarrow \quad 6a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \] Setze \( a \) zurück in die Gleichung für \( b \): \[ b = -1 + 7 = 6 \] 4. **Funktion aufstellen**: Jetzt haben wir die Werte für \( a \), \( b \) und \( c \): \[ a = -1, \quad b = 6, \quad c = 4 \] Die gesuchte quadratische Funktion ist: \[ f(x) = -x^2 + 6x + 4 \]

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)... [mehr]

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Hier ist \( h = 1,5 \) und \( k = -2 \). Der Scheitelpunkt ist also \( (1,5, -2) \). 2. **Öffnung und Breite**: Der Wert von \( a = 0,5 \) zeigt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und breiter ist als die Standardparabel \( y = x^2 \). 3. **Achsen und Symmetrie**: Die Parabel ist symmetrisch zur Linie \( x = 1,5 \). 4. **Berechne weitere Punkte**: Wähle einige \( x \)-Werte, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu berechnen. Zum Beispiel: - Für \( x = 0 \): \( y = 0,5(0 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 1 \): \( y = 0,5(1 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 2 \): \( y = 0,5(2 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 3 \): \( y = 0,5(3 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 4 \): \( y = 0,5(4 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(6,25) - 2 = 3,125 - 2 = 1,125 \) 5. **Zeichne die Punkte**: Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein. 6. **Verbinde die Punkte**: Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte, um die Parabel darzustellen. 7. **Achsen beschriften**: Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften und den Scheitelpunkt sowie weitere wichtige Punkte zu kennzeichnen. So erhältst du den Graphen der Funktion.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zä... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zähler null ist (vorausgesetzt, der Nenner ist nicht null). Daher setzen wir den Zähler gleich null: \[ ab = 0 \] Das bedeutet, dass entweder \( a = 0 \) oder \( b = 0 \) sein muss, um eine Nullstelle zu haben. Beachte, dass der Nenner \( (x+b)^2 \) niemals null sein kann, solange \( x \neq -b \). Daher gibt es keine Nullstelle in der Funktion, solange \( a \) und \( b \) nicht gleich null sind. Zusammenfassend: Die Nullstelle der Funktion existiert nur, wenn \( a = 0 \) oder \( b = 0 \).

Accepted Answer

Die Diskriminante \( D \) einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) wird mit der Formel \( D = b^2 - 4ac \) berechnet. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Anzahl und A... [mehr]

Accepted Answer

Die Diskriminante \( D \) einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) wird mit der Formel \( D = b^2 - 4ac \) berechnet. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Anzahl und Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \( D > 0 \), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \( D = 0 \), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \( D < 0 \), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen.

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \(x^2 + ax + b = 0\) wird mit der Formel \(D = a^2 - 4b\) berechnet. Hierbei ist \(D\) die Diskriminante, \(a\) der Koeffizient von \(x\) und \... [mehr]

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \(x^2 + ax + b = 0\) wird mit der Formel \(D = a^2 - 4b\) berechnet. Hierbei ist \(D\) die Diskriminante, \(a\) der Koeffizient von \(x\) und \(b\) der konstante Term. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Anzahl und Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \(D > 0\), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \(D = 0\), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \(D < 0\), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen.

Accepted Answer

Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn fü... [mehr]

Accepted Answer

Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn für jedes Element \( b \in B \) mindestens ein Element \( a \in A \) existiert, sodass \( f(a) = b \). 2. **Bild der Funktion bestimmen**: Berechne das Bild der Funktion, indem du die Funktionsvorschrift analysierst und die Werte von \( f(x) \) für alle \( x \in A \) untersuchst. 3. **Gegenteil prüfen**: Überprüfe, ob es Elemente in \( B \) gibt, die nicht im Bild von \( f \) liegen. Wenn du ein solches Element findest, ist die Funktion nicht surjektiv. 4. **Spezielle Techniken**: Bei bestimmten Funktionstypen (z.B. linearen Funktionen) kannst du auch algebraische Methoden verwenden, um zu zeigen, dass die Gleichung \( f(x) = b \) für jedes \( b \in B \) eine Lösung hat. 5. **Graphische Methode**: Bei Funktionen, die grafisch dargestellt werden können, kannst du auch die horizontale Linien-Testmethode verwenden: Wenn eine horizontale Linie den Graphen der Funktion mehr als einmal schneidet, ist die Funktion nicht surjektiv. Diese Schritte helfen dir, die Surjektivität einer Funktion effizient zu überprüfen.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \] Diese Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden, daher ist es sinnvoll, numerische Methoden oder grafische Verfahren zu verwenden, um die Nullstelle zu finden. Eine Möglichkeit ist, die Funktion \( g(x) = x - 1 - \ln(x) \) zu betrachten und deren Werte an verschiedenen Stellen zu berechnen: - Für \( x = 1 \): \[ g(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0 \] - Für \( x = 2 \): \[ g(2) = 2 - 1 - \ln(2) \approx 1 - 0.693 = 0.307 \] - Für \( x = 0.5 \): \[ g(0.5) = 0.5 - 1 - \ln(0.5) \approx -0.5 + 0.693 = 0.193 \] Da \( g(1) = 0 \), ist \( x = 1 \) eine Nullstelle der Funktion \( f(x) \). Zusammenfassend ist die Nullstelle von \( f(x) \) bei \( x = 1 \).