Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Woher kommt die 64 bei der Frage, ermittle alle geordneten Paare natürlicher Zahlen größer als 0, deren Produkt genau 8 mal so groß ist wie ihre Summe?
Antwort vomUm die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \) zu finden, deren Produkt \( xy \) genau 8 mal so groß ist wie ihre Summe \( x + y \), kannst du die Gleichung aufstellen: \[ xy = 8 + y) \] Diese Gleich kann umgeformt werden: \xy - 8x - 8 = 0 \] Um Gleichung zu lösen, kannst du sie umstellen: \[ xy - 8x - 8y + 64 = 64 \] Das führt zu: \[ (x - 8)(y - 8) = 64 \] Hierbei ist \( 64 \) das Produkt der beiden Terme \( (x - 8) \) und \( (y - 8) \). Um die geordneten Paare \( (x, y) \) zu finden, musst du die positiven Teiler von \( 64 \) betrachten. Die positiven Teiler von \( 64 \) sind: \[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 \] Für jeden Teiler \( d \) von \( 64 \) kannst du die Werte für \( x \) und \( y \) berechnen: \[ x - 8 = d \quad \text{und} \quad y - 8 = \frac{64}{d} \] Das ergibt: \[ x = d + 8 \quad \text{und} \quad y = \frac{64}{d} + 8 \] Die möglichen Werte für \( d \) und die entsprechenden Paare \( (x, y) \) sind: 1. \( d = 1 \): \( (9, 72) \) 2. \( d = 2 \): \( (10, 40) \) 3. \( d = 4 \): \( (12, 32) \) 4. \( d = 8 \): \( (16, 24) \) 5. \( d = 16 \): \( (24, 16) \) 6. \( d = 32 \): \( (40, 10) \) 7. \( d = 64 \): \( (72, 9) \) Somit erhältst du die geordneten Paare \( (x, y) \) als: \[ (9, 72), (10, 40), (12, 32), (16, 24), (24, 16), (40, 10), (72, 9) \] Die Zahl \( 64 \) stammt also von der Umformung der ursprünglichen Gleichung und stellt das Produkt der Differenzen \( (x - 8) \) und \( (y - 8) \) dar.
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