Welche Primzahl zwischen 20 und 30 ist die Summe zweier Quadratzahlen?

Question

Welche Primzahl zwischen 20 und 30 ist die Summe zweier Quadratzahlen?

Antwort

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Welche ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen dargestellt werden kann?

Wie erkennt man, ob eine große Zahl eine Primzahl ist?

Accepted Answer

Die Primzahlen zwischen 20 und 30 sind 23 und 29. Um herauszufinden, ob eine dieser Primzahlen alsme zweier Quadratzahlen dargestellt werden kann, prüfen wir die möglichen Kombinationen: 1. **23**: - \(1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17\) - \(^2 + ^2 = + 16 = 20\) - \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) - \(3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\) - \(5^2 + 2^2 = 25 +4 = 29\) - Keine Kombination ergibt 23. 2. **29**: - \(5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29\) Somit lässt sich die Primzahl **29** als Summe zweier Quadratzahlen darstellen: \(5^2 + 2^2\).

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Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). D... [mehr]

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Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). Deren Quadrate sind: \[ (n-1)^2, \quad n^2, \quad (n+1)^2 \] Die Summe ist: \[ (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) \] \[ = n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 \] \[ = 3n^2 + 2 \] Nun suchen wir die kleinste Primzahl, die sich als \( 3n^2 + 2 \) schreiben lässt. Setze n = 1: \[ 3 \cdot 1^2 + 2 = 3 + 2 = 5 \quad \text{(Primzahl)} \] Setze n = 2: \[ 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \quad \text{(keine Primzahl)} \] Setze n = 3: \[ 3 \cdot 9 + 2 = 27 + 2 = 29 \quad \text{(Primzahl)} \] Die kleinste ist also **5**. **Antwort:** Die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann, ist **5**.

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Um zu erkennen, ob eine große Zahl eine Primzahl ist, gibt es verschiedene Methoden. Für sehr große Zahlen werden meist spezielle Algorithmen verwendet, da das klassische Probieren al... [mehr]

Accepted Answer

Um zu erkennen, ob eine große Zahl eine Primzahl ist, gibt es verschiedene Methoden. Für sehr große Zahlen werden meist spezielle Algorithmen verwendet, da das klassische Probieren aller Teiler zu aufwendig wäre. Hier sind die wichtigsten Ansätze: 1. **Klassische Teilbarkeitsprüfung:** Man prüft, ob die Zahl durch eine kleinere Zahl (größer als 1 und kleiner als die Wurzel der Zahl) teilbar ist. Das ist für sehr große Zahlen aber nicht praktikabel. 2. **Probabilistische Tests:** Diese liefern mit hoher Wahrscheinlichkeit das richtige Ergebnis, sind aber nicht absolut sicher. Beispiele: - **Fermat-Test** - **Miller-Rabin-Test** ([Wikipedia-Link](https://de.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin-Test)) - **Solovay-Strassen-Test** 3. **Deterministische Tests:** Diese liefern immer das richtige Ergebnis, sind aber meist aufwändiger. Beispiele: - **AKS-Primzahltest** ([Wikipedia-Link](https://de.wikipedia.org/wiki/AKS-Primzahltest)) - Für kleinere Zahlen: **Einfache Siebverfahren** wie das Sieb des Eratosthenes **In der Praxis:** Für sehr große Zahlen (z.B. in der Kryptographie) werden meist die probabilistischen Tests wie der Miller-Rabin-Test verwendet, weil sie schnell sind und eine sehr hohe Sicherheit bieten. **Zusammengefasst:** Um zu erkennen, ob eine große Zahl eine Primzahl ist, nutzt man in der Praxis schnelle, probabilistische Algorithmen wie den Miller-Rabin-Test. Für absolute Sicherheit gibt es auch deterministische Tests, die aber langsamer sind.