Wie zerlegt man das Polynom x^2-3x+2 in Linearfaktoren?

Um das Polynom \(x^2 - 3x + 2\) mithilfe der quadratischen Ergänzung in Linearfaktoren zu zerlegen, folge diesen Schritten:

1. **Quadratische Ergänzung vorbereiten:**
Das Polynom hat die Form \(ax^2 + bx + c\), wobei \(a = 1\), \(b = -3\) und \(c = 2\).

2. **Quadratische Ergänzung durchführen:**
- Nimm den Koeffizienten von \(x\), der hier \(-3\) ist.
- Halbiere diesen Koeffizienten: \(\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}\).
- Quadriere das Ergebnis: \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\).

3. **Polynom umformen:**
Füge und subtrahiere \(\frac{9}{4}\) innerhalb des Polynoms:
\[
x^2 - 3x + 2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 2
\]
\[
= \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} + 2
\]

4. **Quadratische Ergänzung anwenden:**
Der Ausdruck \(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\) ist eine vollständige quadratische Ergänzung:
\[
x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2
\]
Setze dies in das Polynom ein:
\[
\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 2
\]

5. **Konstanten zusammenfassen:**
\[
-\frac{9}{4} + 2 = -\frac{9}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{1}{4}
\]
Also:
\[
\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}
\]

6. **Differenz von Quadraten anwenden:**
\[
\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)
\]
\[
= \left(x - 2\right)\left(x - 1\right)
\]

Das Polynom \(x^2 - 3x + 2\) ist somit in die Linearfaktoren \((x - 2)(x - 1)\) zerlegt.