Wie zerlegt man das Polynom x^2-3x+2 in Linearfaktoren?

Question

Wie zerlegt man das Polynom x^2-3x+2 in Linearfaktoren?

Antwort

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Was ist eine ganzrationale Funktion?

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

(A^3 - b^3)(a^3 + b^3)?

Accepted Answer

Um das Polynom \(x^2 - 3x + 2\) mithilfe der quadratischen Ergänzung in Linearfaktoren zu zerlegen, folge diesen Schritten: 1. **Quadratische Ergänzung vorbereiten:** Das Polynom hat die Form \(ax^2 + bx + c\), wobei \(a = 1\), \(b = -3\) und \(c = 2\). 2. **Quadratische Ergänzung durchführen:** - Nimm den Koeffizienten von \(x\), der hier \(-3\) ist. - Halbiere diesen Koeffizienten: \(\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}\). - Quadriere das Ergebnis: \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\). 3. **Polynom umformen:** Füge und subtrahiere \(\frac{9}{4}\) innerhalb des Polynoms: \[ x^2 - 3x + 2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 2 \] \[ = \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} + 2 \] 4. **Quadratische Ergänzung anwenden:** Der Ausdruck \(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\) ist eine vollständige quadratische Ergänzung: \[ x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \] Setze dies in das Polynom ein: \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 2 \] 5. **Konstanten zusammenfassen:** \[ -\frac{9}{4} + 2 = -\frac{9}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{1}{4} \] Also: \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \] 6. **Differenz von Quadraten anwenden:** \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \left(x - 2\right)\left(x - 1\right) \] Das Polynom \(x^2 - 3x + 2\) ist somit in die Linearfaktoren \((x - 2)(x - 1)\) zerlegt.

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Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A... [mehr]

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] und \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Wenn wir diese beiden Identitäten kombinieren, erhalten wir: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = (A - B)(A^2 + AB + B^2)(A + BA^2 - AB + B^2) \] Das Produkt \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann auch als \((A^6 - B^6)\) geschrieben werden, da es sich um die Differenz der sechsten Potenzen handelt. Zusammenfassend ergibt sich: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = A^6 - B^6 \]