1 Frage zu Linearfaktoren

Um das Polynom \(x^2 - 3x + 2\) mithilfe der quadratischen Ergänzung in Linearfaktoren zu zerlegen, folge diesen Schritten: 1. **Quadratische Ergänzung vorbereiten:** Das Polynom hat die Form \(ax^2 + bx + c\), wobei \(a = 1\), \(b = -3\) und \(c = 2\). 2. **Quadratische Ergänzung durchführen:** - Nimm den Koeffizienten von \(x\), der hier \(-3\) ist. - Halbiere diesen Koeffizienten: \(\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}\). - Quadriere das Ergebnis: \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\). 3. **Polynom umformen:** Füge und subtrahiere \(\frac{9}{4}\) innerhalb des Polynoms: \[ x^2 - 3x + 2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 2 \] \[ = \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} + 2 \] 4. **Quadratische Ergänzung anwenden:** Der Ausdruck \(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\) ist eine vollständige quadratische Ergänzung: \[ x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \] Setze dies in das Polynom ein: \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 2 \] 5. **Konstanten zusammenfassen:** \[ -\frac{9}{4} + 2 = -\frac{9}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{1}{4} \] Also: \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \] 6. **Differenz von Quadraten anwenden:** \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \left(x - 2\right)\left(x - 1\right) \] Das Polynom \(x^2 - 3x + 2\) ist somit in die Linearfaktoren \((x - 2)(x - 1)\) zerlegt.