Beschreibe die Parabel f(x) = 0.5 - (x + 4) - 2 hinsichtlich Öffnung, Form und Verschiebung.

Question

Beschreibe die Parabel f(x) = 0.5 - (x + 4) - 2 hinsichtlich Öffnung, Form und Verschiebung.

Antwort

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Warum ist ein exaktes Winkeldritteln mit Hilfe der Parabel y = x^2 für beliebige Winkel möglich, obwohl es als unmöglich bewiesen ist?

Was ist die Nullstelle einer Normalparabel und wie berechnet man sie?

Wie setzt man den Punkt P(1/3) in die Gleichung y = ax²?

Accepted Answer

Die gegebene Funktion \( f(x) = 0.5 - (x + 4)^2 - 2 \) kann umformuliert werden, um die Eigenschaften der Parabel besser zu erkennen. Zuerst vereinfachen wir die Funktion: 1. **Vereinfachung**: \[ f(x) = 0.5 - (x + 4)^2 - 2 = - (x + 4)^2 - 1.5 \] 2. **Öffnung**: Die Parabel öffnet nach unten, da der Koeffizient von \( (x + 4)^2 \) negativ ist (-1). 3. **Form**: Die allgemeine Form einer Parabel ist \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. In diesem Fall ist die Parabel in der Form \( f(x) = -1(x + 4)^2 - 1.5 \). 4. **Verschiebung**: - Die Parabel ist um 4 Einheiten nach links verschoben, da der Ausdruck \( (x + 4) \) anzeigt, dass der Scheitelpunkt bei \( x = -4 \) liegt. - Sie ist um 1.5 Einheiten nach unten verschoben, da der konstante Term -1.5 den y-Wert des Scheitelpunkts angibt. Zusammenfassend: Die Parabel öffnet nach unten, hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel und ist um 4 Einheiten nach links und 1.5 Einheiten nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt liegt bei \( (-4, -1.5) \).

Accepted Answer

Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich... [mehr]

Accepted Answer

Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich** auf Konstruktionen, die nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden dürfen. Wenn du aber eine Parabel, zum Beispiel \( y = x^2 \), als zusätzliches Hilfsmittel verwendest, verlässt du die klassischen Regeln der "Zirkel-und-Lineal-Konstruktion". Mit einer Parabel (oder anderen bestimmten Kurven, wie der Neusis-Konstruktion oder der sogenannten "Trisektrix") ist das exakte Winkeldritteln tatsächlich **möglich**. **Warum ist das so?** - Das Problem beim Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist, dass die Gleichung, die du lösen musst (im Wesentlichen eine kubische Gleichung), mit diesen Werkzeugen nicht immer lösbar ist. - Mit einer Parabel kannst du aber geometrisch eine Konstruktion durchführen, die einer Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. - Das heißt: Die Parabel erweitert die "Werkzeugkiste" so, dass du Aufgaben lösen kannst, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gehen. **Fazit:** Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal unmöglich, aber mit einer Parabel (wie \( y = x^2 \)) möglich, weil du damit zusätzliche mathematische Operationen (wie das Lösen kubischer Gleichungen) geometrisch umsetzen kannst. Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für die klassischen Werkzeuge, nicht für Konstruktionen mit Parabeln. Weitere Infos: - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Wantzelscher Unmöglichkeitsbeweis – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Wantzelscher_Unm%C3%B6glichkeitsbeweis)

Accepted Answer

Die Nullstelle einer Normalparabel ist der Punkt (bzw. die Punkte), an dem die Parabel die x-Achse schneidet. Mathematisch bedeutet das: Die Nullstelle ist der Wert von \( x \), für den \( f(x) =... [mehr]

Accepted Answer

Die Nullstelle einer Normalparabel ist der Punkt (bzw. die Punkte), an dem die Parabel die x-Achse schneidet. Mathematisch bedeutet das: Die Nullstelle ist der Wert von \( x \), für den \( f(x) = 0 \) gilt. Eine Normalparabel hat die Funktionsgleichung: \[ f(x) = x^2 \] Um die Nullstelle zu berechnen, setzt du die Funktion gleich null: \[ x^2 = 0 \] Löse die Gleichung nach \( x \) auf: \[ x = 0 \] **Ergebnis:** Die Normalparabel \( f(x) = x^2 \) hat genau eine Nullstelle bei \( x = 0 \). **Allgemeiner Tipp:** Bei Parabeln der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) berechnest du die Nullstellen mit der Mitternachtsformel (auch "quadratische Lösungsformel" genannt): \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Bei der Normalparabel (\( a = 1, b = 0, c = 0 \)) vereinfacht sich das wie oben gezeigt.

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \fra... [mehr]

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \frac{1}{3} \) in die Gleichung einsetzt: \[ \frac{1}{3} = a \cdot (1)^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ \frac{1}{3} = a \] Somit ist der Wert von \( a \) gleich \( \frac{1}{3} \). Die Gleichung, die den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) enthält, lautet also: \[ y = \frac{1}{3}x^2 \]