Um den Ausdruck \((r^2 \sin(x) \cos(y) \sin(y)) \cdot (r^2 \cos(x) \cos^2(y))\) zu berechnen, multipliziere die beiden Terme aus: 1. Multipliziere die \(r^2\)-Terme: \(r^2 \cdot r^2 = r^4\) 2. Mult...
Zeige, dass f~g <=> f(0) < g(0) eine strikte Ordnung auf X={f:R->R} definiert.
Antwort vomUm zu zeigen, dass die Relation \( f \sim g \) definiert durch \( f(0) < g(0) \) eine strikte Ordnung auf der Menge \( X = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} \) definiert, müssen wir die drei Eigenschaften einer strikten Ordnung überprüfen: 1. **Transitivität**: Wenn \( f \sim g \) und \( g \sim h \), dann muss auch \( f \sim h \) gelten. 2. **Irreflexivität**: Für jede Funktion \( f \) gilt \( \neg (f \sim f) \). 3. **Antisymmetrie**: Diese Eigenschaft ist für strikte Ordnungen nicht relevant, da sie nur für nicht-strikte Ordnungen gilt. ### 1. Transitivität Angenommen, \( f(0) < g(0) \) und \( g(0) < h(0) \). Dann gilt: \[ f(0) < g(0) < h(0) \] Das bedeutet, dass \( f(0) < h(0) \) ist, also \( f \sim h \). ### 2. Irreflexivität Für jede Funktion \( f \) gilt \( f(0) < f(0) \) ist niemals wahr. Daher ist \( \neg (f \sim f) \) für alle \( f \) erfüllt. Da die Relation \( f \sim g \) die Eigenschaften der Transitivität und Irreflexivität erfüllt, definiert sie eine strikte Ordnung auf der Menge \( X = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} \).
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