Wie groß ist die Oberfläche eines Oktaeders bei 7,5 cm Kantenlänge?

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Wie groß ist die Oberfläche eines Oktaeders bei 7,5 cm Kantenlänge?

Antwort

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Oberfläche einer sechseckigen Pyramide berechnen?

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Ein Oktaeder besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken. Die Oberfläche eines Oktaeders kann berechnet werden, indem die Fläche eines dieser Dreiecke mit acht multipliziert wird. Die Fläche \( A \) eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge \( a \) kann mit der Formel berechnet werden: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Für ein Oktaeder mit einer Kantenlänge von 7,5 cm ist die Fläche eines Dreiecks: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} (7,5)^2 \] \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 56,25 \] \[ A = 14,0625 \sqrt{3} \] Die gesamte Oberfläche \( O \) des Oktaeders ist dann: \[ O = 8 \times 14,0625 \sqrt{3} \] \[ O = 112,5 \sqrt{3} \] Der numerische Wert von \( \sqrt{3} \) ist ungefähr 1,732. Daher: \[ O \approx 112,5 \times 1,732 \] \[ O \approx 194,85 \] Die Oberfläche des Oktaeders beträgt also ungefähr 194,85 cm².

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Um die Oberfläche einer sechseckigen Pyramide zu berechnen, benötigst du die Grundfläche und die Flächen der seitlichen Dreiecke. Hier sind die Schritte zur Berechnung: 1. **Berec... [mehr]

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Um die Oberfläche einer sechseckigen Pyramide zu berechnen, benötigst du die Grundfläche und die Flächen der seitlichen Dreiecke. Hier sind die Schritte zur Berechnung: 1. **Berechnung der Grundfläche**: Die Grundfläche einer regelmäßigen Sechseck ist gegeben durch die Formel: \[ A_{Grund} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot a^2 \] wobei \( a \) die Seitenlänge des Sechsecks ist. 2. **Berechnung der Fläche der seitlichen Dreiecke**: Eine sechseckige Pyramide hat sechs seitliche Dreiecke. Die Fläche eines seitlichen Dreiecks kann mit der Formel berechnet werden: \[ A_{seitlich} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{seitlich} \] wobei \( h_{seitlich} \) die Höhe des seitlichen Dreiecks ist. Diese Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn du die Höhe der Pyramide \( h \) und die halbe Seitenlänge \( \frac{a}{2} \) kennst: \[ h_{seitlich} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] 3. **Gesamte Fläche der seitlichen Dreiecke**: Da es sechs seitliche Dreiecke gibt, multipliziere die Fläche eines Dreiecks mit 6: \[ A_{seitlich\_gesamt} = 6 \cdot A_{seitlich} \] 4. **Berechnung der gesamten Oberfläche**: Addiere die Grundfläche und die gesamte Fläche der seitlichen Dreiecke: \[ A_{gesamt} = A_{Grund} + A_{seitlich\_gesamt} \] Setze die entsprechenden Werte für \( a \) und \( h \) ein, um die gesamte Oberfläche der sechseckigen Pyramide zu berechnen.