Wie ändert sich der Oberflächeninhalt und das Volumen eines Würfels, wenn die Kantenlänge mit dem Faktor k (k > 0) verlängert wird?

Question

Wie ändert sich der Oberflächeninhalt und das Volumen eines Würfels, wenn die Kantenlänge mit dem Faktor k (k > 0) verlängert wird?

Antwort

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Accepted Answer

Wenn die Kantenlänge eines Würfels mit dem Faktor \( k \) (wobei \( k > 0 \)) verlängert wird, ändert sich der Oberflächeninhalt und das Volumen wie folgt: 1. **Oberflächeninhalt**: Der Oberflächeninhalt \( A \) eines Würfels mit Kantenlänge \( a \) beträgt \( A = 6a^2 \). Wenn die Kantenlänge auf \( ka \) verlängert wird, ergibt sich der neue Oberflächeninhalt \( A' \) zu: \[ A' = 6(ka)^2 = 6k^2a^2 = k^2 \cdot A \] Das bedeutet, der Oberflächeninhalt wird mit dem Quadrat des Verlängerungsfaktors \( k^2 \) multipliziert. 2. **Volumen**: Das Volumen \( V \) eines Würfels mit Kantenlänge \( a \) beträgt \( V = a^3 \). Wenn die Kantenlänge auf \( ka \) verlängert wird, ergibt sich das neue Volumen \( V' \) zu: \[ V' = (ka)^3 = k^3a^3 = k^3 \cdot V \] Das bedeutet, das Volumen wird mit dem Kubus des Verlängerungsfaktors \( k^3 \) multipliziert. Zusammenfassend: Der Oberflächeninhalt wird mit \( k^2 \) multipliziert und das Volumen mit \( k^3 \).

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Um die Höhe des Sands in der Sandkiste zu berechnen, nutzt du die Formel für das Volumen eines Quaders: **Volumen = Grundfläche × Höhe** Gegeben: - Grundfläche: 4 m &t... [mehr]

Accepted Answer

Um die Höhe des Sands in der Sandkiste zu berechnen, nutzt du die Formel für das Volumen eines Quaders: **Volumen = Grundfläche × Höhe** Gegeben: - Grundfläche: 4 m × 2,5 m = 10 m² - Volumen: 2 m³ Gesucht: Höhe (h) Setze die Werte ein: 2 m³ = 10 m² × h Löse nach h auf: h = 2 m³ / 10 m² h = 0,2 m **Antwort:** Der Sand steht **0,2 Meter** (also **20 Zentimeter**) hoch in der Sandkiste.

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Angenommen, der ursprüngliche Radius ist \( r \) und die ursprüngliche Höhe ist \( h \)... [mehr]

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Angenommen, der ursprüngliche Radius ist \( r \) und die ursprüngliche Höhe ist \( h \). **Neue Werte:** - Der Radius wird verdoppelt: \( r_{neu} = 2r \) - Die Höhe wird halbiert: \( h_{neu} = \frac{h}{2} \) Setze die neuen Werte in die Volumenformel ein: \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right) \] \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi (4r^2) \left(\frac{h}{2}\right) \] \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{2} \] \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2r^2 h \] \[ V_{neu} = 2 \left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right) \] \[ V_{neu} = 2V \] **Fazit:** Das Volumen des Kegels verdoppelt sich.

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Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Wenn sowohl der Radius \( r \) als auch die Höhe \( h \) verdoppelt werden, setzt man \( r'... [mehr]

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Wenn sowohl der Radius \( r \) als auch die Höhe \( h \) verdoppelt werden, setzt man \( r' = 2r \) und \( h' = 2h \) ein: \[ V' = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 (2h) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4r^2 \cdot 2h = \frac{1}{3} \pi \cdot 8r^2 h = 8 \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right) = 8V \] Das Volumen des Kegels wird also **achtmal so groß**.

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Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Dabei ist \( r \) der Radius der Grundfläche und \( h \) die Höhe des Kegels. Wenn die H&ou... [mehr]

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Dabei ist \( r \) der Radius der Grundfläche und \( h \) die Höhe des Kegels. Wenn die Höhe \( h \) verdoppelt wird (\( h' = 2h \)), dann wird das neue Volumen \( V' \): \[ V' = \frac{1}{3} \pi r^2 (2h) = 2 \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right) = 2V \] Das Volumen des Kegels verdoppelt sich also, wenn die Höhe verdoppelt wird (bei gleichbleibendem Radius).

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **Lösungsschritte:** 1. **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Bei jedem Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) mögliche Ergebnisse. 2. **Günstige Fälle (alle Augenzahlen verschieden):** - Beim ersten Wurf: 6 Möglichkeiten (alle Zahlen sind möglich) - Beim zweiten Wurf: 5 Möglichkeiten (alle außer die vom ersten Wurf) - Beim dritten Wurf: 4 Möglichkeiten (alle außer die ersten beiden) Also: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) günstige Fälle. 3. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen mit einem normalen Würfel alle Augenzahlen verschieden sind, beträgt **\(\frac{5}{9}\)** (ca. 55,56 %).

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Um das Fassungsvermögen (Volumen) eines rechteckigen Gefäßes zu berechnen, multiplizierst du Länge, Breite und Höhe: 80 cm × 30 cm × 40 cm = 96 000 cm³ Um das Ergebnis in Liter umzurechnen, teilst du durch 1 000 (da 1 Liter = 1 000 cm³): 96 000 cm³ ÷ 1 000 = **96 Liter** Das Gefäß hat also einen Fassungsinhalt von **96 Litern**.