Oberfläche des Schnittkörpers hat Flächeninhalt 16r. Wie begründet man dies anhand der Volumenformel V = 16/3 r^3?

Um die Oberfläche des Schnittkörpers mit dem Flächeninhalt \(16\) aus der Volumenformel \(V = \frac{16}{3} r^3\) zu begründen, kann die Funktion \(r \mapsto V(r)\) analysiert werden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess:

1. **Volumenformel**:
Die gegebene Volumenformel lautet:
\[
V(r) = \frac{16}{3} r^3
\]

2. **Ableitung des Volumens**:
Um die Oberfläche zu finden, wird die Ableitung des Volumens nach \(r\) benötigt. Diese Ableitung gibt die Rate der Volumenänderung in Bezug auf den Radius an, was mit der Oberfläche des Körpers zusammenhängt.
\[
\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{16}{3} r^3 \right) = 16r^2
\]

3. **Zusammenhang zwischen Volumen und Oberfläche**:
Für viele geometrische Körper (z.B. Kugeln) ist die Ableitung des Volumens nach dem Radius gleich der Oberfläche des Körpers. Hier wird angenommen, dass dieser Zusammenhang auch für den gegebenen Schnittkörper gilt.

4. **Oberfläche des Schnittkörpers**:
Die Ableitung des Volumens \(V(r)\) nach \(r\) ergibt:
\[
\frac{dV}{dr} = 16r^2
\]
Dies entspricht der Oberfläche des Schnittkörpers.

5. **Gegebene Oberfläche**:
Es wird angegeben, dass die Oberfläche des Schnittkörpers den Flächeninhalt \(16r\) hat. Dies bedeutet, dass:
\[
16r^2 = 16r
\]

6. **Überprüfung der Bedingung**:
Um die Bedingung zu überprüfen, kann \(r\) aus der Gleichung \(16r^2 = 16r\) gelöst werden:
\[
16r^2 = 16r \implies r^2 = r \implies r(r - 1) = 0
\]
Dies ergibt zwei Lösungen:
\[
r = 0 \quad \text{oder} \quad r = 1
\]

7. **Interpretation der Lösung**:
- \(r = 0\) ist eine triviale Lösung, die keinen physikalisch sinnvollen Körper ergibt.
- \(r = 1\) ist die relevante Lösung.

Daher zeigt die Analyse der Funktion \(r \mapsto V(r)\), dass für \(r = 1\) die gegebene Bedingung \(16r^2 = 16r\) erfüllt ist. Dies bedeutet, dass bei einem Radius von 1 die Oberfläche des Schnittkörpers tatsächlich den Flächeninhalt \(16r\) hat.