Berechne die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x³ + 5x² - 2x.

Question

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion $ f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 2x $ zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null:

$$
3x^3 + 5x^2 - 2x = 0
$$

Zuerst kann man $ x $ ausklammern:

$$
x(3x^2 + 5x - 2) = 0
$$

Die erste Nullstelle ist somit:

$$
x = 0
$$

Nun müssen wir die Nullstellen der quadratischen Funktion $ 3x^2 + 5x - 2 $ finden. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel (Quadratische Formel):

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Hierbei sind $ a = 3 $, $ b = 5 $ und $ c = -2 $. Zuerst berechnen wir die Diskriminante:

$$
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49
$$

Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei reelle Lösungen. Jetzt setzen wir die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$$
x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6}
$$

Das ergibt zwei Lösungen:

1. $ x_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
2. $ x_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 $

Die Nullstellen der Funktion $ f(x) $ sind somit:

$$
x = 0, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = -2
$$

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