Wie löse ich die Nullgleichung 5x^2 - 10x + 5 = 0?

Question

Wie löse ich die Nullgleichung 5x^2 - 10x + 5 = 0?

Antwort

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Wie sieht eine Aufgabe zu Schnittstellen von Polynomfunktionen in Klasse 11 mit Lösung aus?

Wie sieht eine Differentialgleichung aus und wie löst man sie?

Wie löst man das Additionsverfahren bei 4x+3y=5 und -4x-5y=-5?

Accepted Answer

Um die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(5x^2 - 10x + 5 = 0\) zu finden, kann die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) verwendet werden. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist \(ax^2 + bx + c = 0\), wobei \(a\), \(b\) und \(c\) Konstanten sind. Für die gegebene Gleichung sind: - \(a = 5\) - \(b = -10\) - \(c = 5\) Die Mitternachtsformel lautet: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Setze die Werte ein: \[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 100}}{10}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{0}}{10}\] \[x = \frac{10 \pm 0}{10}\] \[x = \frac{10}{10}\] \[x = 1\] Die Gleichung hat also eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\).

Accepted Answer

**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **... [mehr]

Accepted Answer

**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \) 2. **Umstellen:** \( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \) \( x^3 - x^2 - 2x = 0 \) 3. **Ausklammern:** \( x(x^2 - x - 2) = 0 \) 4. **Nullstellen bestimmen:** a) \( x = 0 \) b) \( x^2 - x - 2 = 0 \) Die quadratische Gleichung lösen: \( x^2 - x - 2 = 0 \) Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \) Also: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \). 5. **y-Koordinaten berechnen:** Für \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \) Schnittpunkt: \( (0|0) \) Für \( x = 2 \): \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) Schnittpunkt: \( (2|2) \) Für \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \) Schnittpunkt: \( (-1|-4) \) **Antwort:** Die Graphen schneiden sich in den Punkten \( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).

Accepted Answer

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Popula... [mehr]

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert. **Beispiel einer Differentialgleichung:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \] Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung. **Lösen einer Differentialgleichung:** Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt. **Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:** 1. **Trennung der Variablen:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx \] 2. **Integration beider Seiten:** \[ \int \frac{1}{y}dy = \int 3dx \] \[ \ln|y| = 3x + C \] (C ist die Integrationskonstante.) 3. **Umstellen nach \( y \):** \[ |y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x} \] \[ y(x) = A e^{3x} \] (mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.) **Zusammenfassung:** - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. - Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. - Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs). Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).

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Um das Additions (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt. Hier sind die beiden Gleichungen: (I... [mehr]

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Um das Additions (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt. Hier sind die beiden Gleichungen: (I) 4x + 3y = 5 (II) -4x - 5y = -5 **Schritt 1: Gleichungen addieren** Addiere (I) und (II): (4x + 3y) + (-4x - 5y) = 5 + (-5) 4x - 4x + 3y - 5y = 0 0x + (-2y) = 0 -2y = 0 **Schritt 2: Nach y auflösen** -2y = 0 y = 0 **Schritt 3: y in eine der Gleichungen einsetzen** Setze y = 0 in (I) ein: 4x + 3·0 = 5 4x = 5 x = 5/4 **Lösung:** x = 5/4 y = 0 **Lösungsmenge:** L = { (5/4 | 0) }