Kann man aus vier natürlichen Zahlen immer drei auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist?

Um zu untersuchen, ob aus vier natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, betrachten wir die möglichen R der Zahlen bei der Division durch 3. Jede natürliche Zahl kann den Rest 0, 1 oder 2 haben, wenn sie durch 3 geteilt wird. Sei \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) die vier natürlichen Zahlen. Wir betrachten die Reste dieser Zahlen modulo 3: - Es gibt maximal drei verschiedene Reste: 0, 1 und 2. - Wenn wir vier Zahlen haben, müssen mindestens zwei dieser Zahlen denselben Rest haben (nach dem Schubfachprinzip). Es gibt mehrere Fälle zu betrachten: 1. **Fall 1:** Alle vier Zahlen haben den Rest 0. In diesem Fall ist jede Auswahl von drei Zahlen durch 3 teilbar, da \( 0 + 0 + 0 = 0 \). 2. **Fall 2:** Drei Zahlen haben den Rest 0 und eine hat den Rest 1 oder 2. In diesem Fall können wir die drei Zahlen mit Rest 0 auswählen, deren Summe ebenfalls durch 3 teilbar ist. 3. **Fall 3:** Zwei Zahlen haben den Rest 0, eine hat den Rest 1 und eine hat den Rest 2. Hier können wir die beiden Zahlen mit Rest 0 auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist, oder eine Zahl mit Rest 1 und eine mit Rest 2 zusammen mit einer Zahl mit Rest 0. 4. **Fall 4:** Zwei Zahlen haben den Rest 1 und zwei haben den Rest 2. In diesem Fall können wir zwei Zahlen mit Rest 1 auswählen, deren Summe \( 1 + 1 = 2 \) ist, und eine Zahl mit Rest 2, sodass die gesamte Summe \( 2 + 2 = 4 \) ist, was nicht durch 3 teilbar ist. Aber wir können auch zwei Zahlen mit Rest 2 auswählen, deren Summe \( 2 + 2 = 4 \) ist, und eine Zahl mit Rest 1, sodass die gesamte Summe \( 4 + 1 = 5 \) ist, was ebenfalls nicht durch 3 teilbar ist. 5. **Fall 5:** Alle vier Zahlen haben unterschiedliche Reste (was nicht möglich ist, da es nur drei Reste gibt). Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es in den meisten Fällen möglich ist, drei Zahlen auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Der kritische Fall tritt auf, wenn wir zwei Zahlen mit Rest 1 und zwei mit Rest 2 haben. In diesem Fall ist es nicht garantiert, dass die Summe der ausgewählten drei Zahlen durch 3 teilbar ist. Daher lautet die Antwort: Es ist nicht immer möglich, aus vier natürlichen Zahlen drei auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.