Was ist die mathematische Abkürzung für Primzahlen in der Mengenlehre?

Question

Was ist die mathematische Abkürzung für Primzahlen in der Mengenlehre?

Antwort

Verwandte Fragen

Welche ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen dargestellt werden kann?

Wie erkennt man, ob eine große Zahl eine Primzahl ist?

Accepted Answer

Die mathematische Abkürzung für die Menge der Primzahlen ist oft \( \mathbb{P} \) oder \( \mathbb{Z}^+ \) (für die positiven ganzen Zahlen, die Primzahlen enthalten). In der Mengenlehre wird die Menge der Primzahlen manchmal auch als \( P = \{ p \in \mathbb{Z}^+ \mid p \text{ ist eine Primzahl} \} \) dargestellt.

Accepted Answer

Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). D... [mehr]

Accepted Answer

Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). Deren Quadrate sind: \[ (n-1)^2, \quad n^2, \quad (n+1)^2 \] Die Summe ist: \[ (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) \] \[ = n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 \] \[ = 3n^2 + 2 \] Nun suchen wir die kleinste Primzahl, die sich als \( 3n^2 + 2 \) schreiben lässt. Setze n = 1: \[ 3 \cdot 1^2 + 2 = 3 + 2 = 5 \quad \text{(Primzahl)} \] Setze n = 2: \[ 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \quad \text{(keine Primzahl)} \] Setze n = 3: \[ 3 \cdot 9 + 2 = 27 + 2 = 29 \quad \text{(Primzahl)} \] Die kleinste ist also **5**. **Antwort:** Die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann, ist **5**.

Accepted Answer

Um zu erkennen, ob eine große Zahl eine Primzahl ist, gibt es verschiedene Methoden. Für sehr große Zahlen werden meist spezielle Algorithmen verwendet, da das klassische Probieren al... [mehr]

Accepted Answer

Um zu erkennen, ob eine große Zahl eine Primzahl ist, gibt es verschiedene Methoden. Für sehr große Zahlen werden meist spezielle Algorithmen verwendet, da das klassische Probieren aller Teiler zu aufwendig wäre. Hier sind die wichtigsten Ansätze: 1. **Klassische Teilbarkeitsprüfung:** Man prüft, ob die Zahl durch eine kleinere Zahl (größer als 1 und kleiner als die Wurzel der Zahl) teilbar ist. Das ist für sehr große Zahlen aber nicht praktikabel. 2. **Probabilistische Tests:** Diese liefern mit hoher Wahrscheinlichkeit das richtige Ergebnis, sind aber nicht absolut sicher. Beispiele: - **Fermat-Test** - **Miller-Rabin-Test** ([Wikipedia-Link](https://de.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin-Test)) - **Solovay-Strassen-Test** 3. **Deterministische Tests:** Diese liefern immer das richtige Ergebnis, sind aber meist aufwändiger. Beispiele: - **AKS-Primzahltest** ([Wikipedia-Link](https://de.wikipedia.org/wiki/AKS-Primzahltest)) - Für kleinere Zahlen: **Einfache Siebverfahren** wie das Sieb des Eratosthenes **In der Praxis:** Für sehr große Zahlen (z.B. in der Kryptographie) werden meist die probabilistischen Tests wie der Miller-Rabin-Test verwendet, weil sie schnell sind und eine sehr hohe Sicherheit bieten. **Zusammengefasst:** Um zu erkennen, ob eine große Zahl eine Primzahl ist, nutzt man in der Praxis schnelle, probabilistische Algorithmen wie den Miller-Rabin-Test. Für absolute Sicherheit gibt es auch deterministische Tests, die aber langsamer sind.