Der M-Test von Weierstraß ist ein nützliches Werkzeug, um die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe von Funktionen zu zeigen, was wiederum die Stetigkeit der Grenzfunktion sicherstellt. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung wie du den M-Test anwenden kannst: 1. **Gegebenheit der Funktion**: Angenommen, du hast eine Reihe von Funktionen \( f_n(x) \), die auf einem Intervall \( I \) definiert sind, und du möchtest die Konvergenz der Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) untersuchen. 2. **Majorante finden**: Finde eine Folge von positiven Konstanten \( M_n \), sodass für alle \( x \in I \) gilt: \[ |f_n(x)| \leq M_n \] 3. **Konvergenz der Majorante**: Überprüfe, ob die Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} M_n \) konvergiert. Das bedeutet, dass die Summe der \( M_n \) endlich ist: \[ \sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty \] 4. **Anwendung des M-Tests**: Wenn die obige Bedingung erfüllt ist, dann konvergiert die Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) gleichmäßig auf \( I \). 5. **Schlussfolgerung zur Stetigkeit**: Da die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe stetiger Funktionen (vorausgesetzt jede \( f_n(x) \) ist stetig) die Stetigkeit der Grenzfunktion garantiert, ist die Grenzfunktion \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) ebenfalls stetig auf \( I \). Zusammengefasst: Der M-Test zeigt, dass wenn die Reihe der Majoranten \( \sum_{n=1}^{\infty} M_n \) konvergiert, dann konvergiert die ursprüngliche Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) gleichmäßig, was die Stetigkeit der Grenzfunktion sicherstellt.